线面关系一线牵

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很多同学习惯用向量法求解立体几何问题，但向量法并不是万能的.当难以根据条件建立空间直角坐标系，或用向量法解题计算烦琐时，就可以考虑几何法.

所谓几何法，就是从条件出发，以定义、公理、定理为依据，通过辅助构图和推理计算解决问题.使用几何法需要一定的空间想象力和逻辑思维能力，能否添加合适的辅助线往往是解题的关键.

添加平行直线，判定线面平行

例1 如图1所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为PD上的一点，且PE=2ED，F为PC的中点.求证：BF∥平面AEC.

解析： 我们常常用线线平行来判定线面平行，那么怎样在平面AEC内找到一条与BF平行的直线呢？让我们执果索因.过BF任意作一个平面与平面AEC相交，若直线BF∥平面AEC，则两个平面的交线必与BF平行；反之，若能证明该交线与BF平行，则可根据线面平行判定定理得到BF∥平面AEC.

我们注意到，AC？哿平面ABCD，BD？哿平面ABCD，AC与BD相交，要过BF作一个平面与平面AEC相交，我们可以过B，F，D三点作一个平面.

如图2所示，联结BD，FD. 设BD∩AC=O，FD∩EC=G.联结OG，OG即为平面AEC和平面BDF的交线.要证明BF∥平面AEC，只要证明BF∥OG即可.

因为ABCD为平行四边形，O为对角线AC，BD的交点，所以O是BD的中点.只要证明G是FD的中点，就能根据三角形中位线定理判定BF∥OG.

因为PE=2ED，故点E是PD的三等分点.取PE的中点H，联结FH.因为F为PC的中点，H为PE的中点，所以FH是PEC的中位线，所以FH∥EC，即FH∥EG.又E是HD的中点，所以EG是HFD的中位线，所以G是FD的中点.故OG是BDF的中位线，所以BF∥OG，由此可得BF∥平面AEC.

点评： 在例1中，过BF作平面BDF与平面AEC交于OG，只要证明BF∥OG，就能证明BF∥平面AEC.所以OG是直线BF与平面AEC存在平行关系的“牵手者”.一般来说，要想构造一条能够体现直线l平行于平面α的平行线m，关键是过l作一平面β交平面α于m.但过l的平面有无数个，究竟选择哪个平面作为β，需要根据题中信息作出判断.

在例1中没有现成的三条两两垂直的直线，用向量法求解比较困难.利用几何法，问题最终被转化为一个平面几何问题：“在PCD中证明G是FD的中点”.在平面几何中，关于比例的问题大多需要通过作平行线，利用相似图形来解决.

添加垂直直线，判定线面垂直

例2 如图3所示，点D在RtABC的斜边AB上，AD=2DB，DE∥BC交AC于点E.沿DE将ABC折成直二面角A1-DE-C，试问：在线段A1B上是否存在一点F，使A1C平面FDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

解析： 首先分析图形，找出那些明显的线面关系.

由题意可知∠ACB=90°，所以BCCE.因为DE∥BC，所以DECE，DEAE.

沿DE将ABC折成直二面角A1-DE-C，因为AE转到A1E的过程中，与DE的相对位置不变，故由AEDE可得A1EDE.结合CEDE可知，∠A1EC就是直二面角A1-DE-C的平面角，故∠A1EC=90°，A1EC为直角三角形.

由A1EDE，CEDE可知DE平面A1EC，所以DEA1C.要证明A1C平面FDE，只要证明平面FDE中存在另一条垂直于A1C的直线即可.现在我们作与DE相交的A1C的另一条垂线，若能证明该垂线位于平面FDE内，就能证明A1C平面FDE.

如图4所示，作EGA1C，过点G作GF∥BC交A1B于点F. 因为DE∥BC，所以GF∥DE，所以D，E，F，G四点共面.

因为DEA1C，又EGA1C，所以A1C平面GFDE，即A1C平面FDE，故存在点F使A1C平面FDE.

因为在ABC中，DE∥BC，AD=2DB，所以AE=2CE，即A1E=2CE. 因为∠A1EC=90°，设A1E=2，CE=1，根据勾股定理可得A1C==.因为EG为RtA1EC斜边上的高，所以EG==. 由勾股定理可得A1G==，GC==.

因为GF∥BC，所以==4.

点评：根据条件，我们很容易证明DEA1C. 要判断A1C平面FDE是否成立，可以作EGA1C，因为DE交EG于E，只要能证明EG位于平面FDE内，就能证明A1C平面FDE.所以EG就是直线A1C与平面GFDE存在垂直关系的“牵手者”.由于DEA1C，而过DE且垂直于A1C的平面有且只有一个，与其在A1B上盲目地寻找点F的位置，不如就近作出EGA1C，再研究平面GDE与直线A1B的交点F的位置.

判定线面垂直的要领就是充分利用“如果一条直线垂直于一个平面内的任意两条相交直线，则这条直线垂直于该平面”这个判定定理，构造出最容易确定的垂线，得到线面垂直.

借助垂线作垂线，求点到平面的距离

例3 如图5所示，P-ABCD是底面为菱形的四棱锥，PA平面ABCD.PA=1，AB=2，∠BAD=60°，E是CD的中点.求点C到平面PBE的距离.

解析： 若直接从点C出发，作平面PBE的垂线，很难确定垂足的位置，但要找到A在平面PBE上的射影却不难.如图5所示，因为∠BCD=∠BAD=60°，CE=CD=BC，故BECD. 由AB∥CD可得BEAB. 又PA平面ABCD，所以BEPA，故BE平面PAB，由此可得平面PBE平面PAB. 由面面垂直的性质定理可知，点A在平面PBE上的射影点F就落在它们的交线BP上.

由于A，C位于同一平面ABCD内，而平面ABCD与平面PBE相交，所以只要作出点A到平面PBE的垂线AF，再过点C引AF的平行线，就可得到点C到平面PBE的垂线.解答如下：

因为四边形ABCD为菱形，所以AD=BC=CD=AB=2.因为E是CD的中点，所以CE=1=BC，又∠BCD=∠BAD=60°，所以BCE为直角三角形，BECD.因为CD∥AB，所以BEAB.又PA平面ABCD，所以BEPA，所以BE平面PAB.

如图6所示，作AFBP于F，因为PAAB，所以AF是RtPAB斜边PB上的高.因为PA=1，AB=2，由勾股定理可知PB==，所以AF==.

因为BE平面PAB，所以BEAF，又PBAF，所以AF平面PBE.

联结AC交BE于O，因为∠COE=∠AOB，∠OEC=∠OBA=90°，所以OEC∽OBA，所以==.

因为A，C位于同一平面ABCD内，平面ABCD与平面PBE交于BE，又上文已证AF平面PBE，因此只要过点C引AF的平行线，就可得到点C到平面PBE的垂线.联结FO并延长，作CH∥AF交FO的延长线于H，因为FO？哿平面PBE，AF是点A到平面PBE的垂线，所以CH就是点C到平面PBE的垂线.

因为∠COH=∠AOF，∠CHO=∠AFO=90°，所以COH∽AOF，由==可得CH=AF=.

点评： 在立体几何问题中，常常会出现如图7所示的情景：PA平面ABC，要求由A向平面PBC引垂线.对此，我们可以作两次线线垂直形成线面垂直，即先作ADBC于D，联结PD，再作AEPD于E.显然，正因为PA平面ABC，才能得到AE平面PBC.在有关过点作平面的垂线的问题中，这种借助于一个平面的垂线（PA）作另一平面的垂线（AE）的方法是行之有效的.

当所求的点到一个平面的垂线难以确定时，我们可以先根据条件选择容易确定的点（如例3中的点A）作出目标平面（平面PBE）的垂线（AF），再过所求点（点C）作垂线的平行线（CH）来间接求得，这种思路与用等体积法求不规则几何体的体积有异曲同工之妙.

通过作平面的垂线，构造二面角的平面角

例4 如图8所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=・AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD. （1） 求证：DC1BC；（2） 求二面角A1-BD-C1的大小.

解析： （1）因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以A1C1CA为矩形，故AC=A1C1，∠C1A1D=∠CAD=90°. 又D为棱AA1的中点，AC=・AA1，所以A1C1=A1D=DA=AC，故C1A1D与CAD均为等腰直角三角形.由此可得∠A1DC1=∠ADC=45°，故∠C1DC=90°，DC1DC.又DC1BD，所以DC1平面BCD，所以DC1BC.

（2） 要作出二面角A1-BD-C1的平面角，我们先考虑过点C1作平面A1BD的垂线.如图9所示，取A1B1的中点E，联结C1E.因为AC=BC，所以ABC为等腰三角形. 又三棱柱为直三棱柱，所以A1B1C1也为等腰三角形.因为E为底边A1B1的中点，故C1EA1B1.因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1，所以C1EB1B.由此可得C1E平面A1BD，所以C1EBD.

因为DC1BD，结合C1EBD可得BD平面C1DE，所以BDDE.又因为BD为平面A1BD与平面BDC1的交线，DC1BD，DEBD，所以∠C1DE就是二面角A1-BD-C1的平面角.

由（1）可知DC1BC，又由ABC-A1B1C1为直三棱柱可得CC1BC，所以BC平面C1CD，即BC平面A1C1CA，故BCAC.根据直三棱柱的上下底面全等可得ABC与A1B1C1均为等腰直角三角形.

不妨设A1C1=1=B1C1，则C1E===，C1D==.因为C1E平面A1BD，DE？哿平面A1BD，所以C1EDE.在RtC1DE中，sin∠C1DE==，所以二面角A1-BD-C1的平面角的大小为30°.

点评： “空间角”就是指直线与平面所成的角及二面角.这两种角的大小均需由特定的平面角来度量，所以用几何法求空间角的关键就是作出其平面角.

如图10所示，为了构造二面角α-l-β的平面角，我们可以先在其中一个平面中选出方便向另一平面作垂线的一点，如在α内选一点P，作另一个平面β的垂线PO，再作棱l的垂线PH，最后联结OH，这样既可顺利作出二面角α-l-β的平面角∠PHO，也能让后续计算因为PHO为直角三角形而变得简单.

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香茶药浴宴宾客

在贵州黔东南地区层峦叠嶂的深山里，驻扎着古老的瑶族村寨。每当有客自远方来访，主人都会热情地捧上一碗本地特产的香茶。主人的妻子或女儿则忙着为客人烧制含有二十多种草药的洗澡水，这种洗澡水具有舒筋活络、祛除风湿等作用。烧好后，女主人便邀请客人到盛满药水的杉木桶里浸泡、洗浴。等客人洗完澡，瑶家的主妇或女儿马上会端上一盆清水，让客人洗去脸上浓浓的草药味。主人这才摆上酒菜，邀请客人入座畅饮。