双临界问题
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摘 要： 作者以实例结合自身的教学实践，介绍了双临界问题的教学方法。
关键词： 弹簧 接触弹力 摩擦力 双临界问题
一个物理问题中，往往会涉及几个物理过程，不同的物理过程，遵从不同的物理规律。物理过程有先有后，在前一个物理过程与后一个物理过程之间，必然存在这样一个状态――临界状态：此前为一个物理过程，此后是另一个物理过程，所以临界状态是从一个物理现象(状态、过程)变化为另一个物理现象(状态、过程)时所出现的转折点。
而双临界问题，是指有两个或两个以上的临界状态存在，这些临界状态要么存在某种特殊关联，要么在产生顺序上存在先后性，正是这种关联或先后性加大了双临界问题的难度。一般情况下，双临界问题由绳、弹簧、接触弹力、摩擦力等要素组成，对这些要素相关的力的特点必须非常熟悉，才能正确分析双临界问题。同时，还要善于使用穷举法、假设法等方法进行逻辑推理。我在此对几种要素的组合模型进行了分析。
一、弹簧和接触弹力的双临界
例1.如图1所示，小车沿水平面做直线运动，小车内光滑底面上有一物块被压缩的弹簧压向左壁，小车向左加速运动。物块质量为1kg，弹簧原长16cm，小车内底面长12cm，弹簧劲度系数为2N/cm，（1）若小车向左加速度6m/s，则物块受到车左壁给的弹力N和弹簧的弹力N的大小如何？（2）若小车向左加速度10m/s，则物块受到车左壁给的弹力N和弹簧的弹力N的大小如何？
图1
这里的接触弹力临界是指物块和小车左壁的接触与分离，而弹簧的临界是指弹簧长度变和不变的临界，弹簧和接触弹力双临界的特点是：（1）只要物块和小车左壁接触，那么弹簧的长度必然不变，弹簧的形变量不变，这就意味着弹簧弹力不变，变化的只是物块和小车左壁的弹力。（2）只要物块和小车左壁的分离，物块和小车左壁的弹力总为零，弹簧的长度必然改变，从而弹簧的形变量改变，这就意味着弹簧弹力发生变化。
不难看出，弹簧和接触弹力的临界产生了特殊的关联，使这两个临界有一个共同的临界点：物块和小车左壁接触，但弹力为零，弹簧长度不变。对物块进行受力分析，如图2所示。N-N=ma ①式，令，N=0，N=k(x-x)=2×(16-12)=8(N) 代入①式，得临界加速度a=8m/s。
图2
（1）若小车向左加速度6m/s，小于临界加速度8m/s，此时弹簧弹力不变N=8N，由①式得N=N-ma=8-a ②式，注意，这是一个差式表达式。当a≤8m/s，N≥0，N=8-a=8-6=2N。
（2）当a＞8m/s，由②式N＜0得，这说明N的方向与图2中的方向相反，这是违背弹力方向的规则的，是不可能的。因此，此时的N是不存在的，这意味着物块和小车左壁已经分离了，弹簧必然继续被压缩，弹簧弹力发生变化。令N=0，则N=ma=1×10=10N。
二、弹簧和摩擦力的双临界
例2.如图3所示，在水平面上质量为1kg的物体A拴在一被水平拉伸的弹簧的一端，弹簧的另一端固定在小车上。当它们都处于静止时，弹簧对物块的弹力大小为3N。物体A与小车间的动摩擦因素为μ=0.5，试求：（1）若小车以a=1m/s的加速度水平向右稳定地做匀加速运动时，物体A受到的摩擦力和弹簧弹力。（2）若小车以a=5m/s的加速度水平向右稳定地做匀加速运动时，物体A受到的摩擦力和弹簧弹力。（3）若小车以a=10m/s的加速度水平向右稳定地做匀加速运动时，物体A受到的摩擦力和弹簧弹力。
图3
从上一问题我们可以看出，有弹簧存在的临界问题的特点是：物体不（相对）动，弹簧弹力不变；物体（相对）动，弹簧弹力变化。与摩擦力临界相结合后，其与摩擦力临界的关联是：（1）物体不（相对）动，弹簧弹力不变，静摩擦力变化，但必须小于最大静摩擦力。（2）物体（相对）动，弹簧弹力变，静摩擦力不变，等于最大静摩擦力。
设摩擦力的方向水平向左，受力图如图4所示，F-F=ma ①式，令F=3N，有F=3-a，由于-μF≤F≤μF，解得-2m/s≤a≤8m/s，当F=0，解得a=3m/s。
图4
（1）当-2m/s≤a＜3m/s时，F≥0，弹簧弹力不变，F=3N，静摩擦力大小变化，方向水平向左。由①式代入数据得：F=4N。
（2）当3m/sa＜a≤8m/s时，F＜0，弹簧弹力不变，F=3N，静摩擦力大小变化，方向水平向右。由①式代入数据得：F=-2N。
（3）当a＞8m/s时，F＜-5N，其大小超过了最大静摩擦力，物体将相对小车滑动，使摩擦力保持为最大值不变，方向水平向右；弹簧将继续被拉伸，弹簧弹力增加，F=F+ma=-5+a=5N，静摩擦力大小不变为F=5N。
三、摩擦力和摩擦力的双临界
例3.如图5所示，质量M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ=0.1，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ=0.4，取g=10m/s，若在铁块上的右端施加一个大小从零开始连续增加的水平向右的力F，通过分析和计算后，试判断是铁块与木板间先滑动，还是木板与地面间先滑动？
摩擦力和摩擦力的双临界问题关键是分析判断哪一个接触面先滑动。面对本题所涉及的问题，应用穷举法分析，不外乎两种情况。
图5
（1）设铁块与木板间先滑动
不难求得，铁块与木板间的最大静摩擦力为4N，木板和地面间的最大静摩擦力为2N。铁块与木板间先滑动的话，木板必然不动，铁块右端施加的水平向右的力F至少应当等于铁块与木板间的最大静摩擦力为4N。可是，铁块与木板间的摩擦力为4N，已经超过了木板和地面间的最大静摩擦力为2N，木板不可能不动。故而，这种情况不可行。
（2）设木板与地面间先滑动
木板与地面间先滑动的话，铁块与木板间必相对静止，也即铁块和木板一起运动，可看做整体，而木板和地面间的最大静摩擦力为2N，水平拉力至少为2N。由于水平拉力为2N时，系统匀速运动，铁块和木板间的摩擦力也为2N，小于最大值4N，是可行的。
现在，结论是木板与地面间先滑动，而铁块与木板间后滑动。看来这种先假设后分析的方法是解决这种问题的有效方法。
四、绳与绳的双临界
例4.如图6所示，两根线系着同一小球，两根线的另一端连接于竖直轴上的A、B两点，其中AC长度为l=2m。今使小球绕竖直轴以角速度ω匀速转动而使两线均被拉直，分别与杆夹30°和45°角，则转动角速度ω的取值范围应如何?
我们仍用穷举法，两根绳的松紧状态组合共有四种情况：
图6
（1）绳AC、BC皆松弛。
直接排除。
（2）绳AC松弛，绳BC绷紧。
从几何关系上，不难发现，这种情况下，绳BC与竖直方向的夹角一定大于45°。
（3）绳BC松弛，绳AC绷紧。
同样从几何关系上看，在这种情况下，绳AC与竖直方向的夹角一定小于30°。
（4）绳AC、BC皆绷紧。
从几何关系上看，绳BC与竖直方向的夹角一定等于45°，绳AC与竖直方向的夹角一定等于30°。
而使两线均被拉直，分别与杆夹30°和45°角的临界状态就是：（1）绳BC拉直，但拉力为零，绳AC绷紧；（2）绳AC拉直，但拉力为零，绳BC绷紧。根据这两个临界状态，就可以解出角速度ω的上下限。
五、绳和摩擦力的双临界
例5.如图7所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转到，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°。两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为l=1.2m、能承受最大拉力F=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍。当杆以角速度ω转到时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s。（1）求杆转动角速度ω的最小值；（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式。
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图7
这里，困惑学生的问题是：绳的弹力是可变的，杆对小环的摩擦力也是可变的，两者的变化有关系么？绳松紧的临界与摩擦力的临界又有着怎样的关联？
仍用穷举法么？这里不需要。我们回顾一下，如何判断弹力的有无呢？移物法。将细线去掉，观察小环是否会相对杆向上移动。如会，则绳绷紧，绳中有弹力，如不会，则不移绳，而是移去小环，由于是轻绳，重力不计，故绳也不动，绳中必无弹力。
简而言之，移去绳，小环相对杆向上移动，则绳中有弹力，摩擦力必为最大静摩擦力，方向沿杆向下。移去绳，小环相对杆静止，绳中必无弹力。此时，只剩下摩擦力的临界问题。
按角速度从小到大的顺序，
①在角速度很小时，移去绳，小环沿杆下移，促使绳间距变短，形成正反馈，小环将不断下移。
②如果增大角速度，移去绳，小环刚好不下移，静摩擦力沿杆向上，为最大静摩擦力。这是题目第一问的临界条件。
③再增大角速度，移去绳，小环刚好不沿杆上滑，静摩擦力沿杆向下，为最大静摩擦力。从此开始，绳中产生弹力。这是题中第二问的临界条件之一。
④如果角速度更大，移去绳，小环必沿杆上滑，故绳中必有弹力，摩擦力将保持为最大静摩擦力，方向沿杆向下。绳中弹力会随角速度的增加二增加，直至达到绳断裂的临界点：F=4.5N。
六、绳、摩擦力和摩擦力的多临界
例6.如图8所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。细线能承受的最大拉力为8N。A、B间的动摩擦因数为0.4，B与转盘间的动摩擦因数为0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时，细线刚好伸直，试分析当转盘的角速度从零开始缓慢增加后，将会出项怎样的物理现象（g取10m/s）。
需要我们解决的问题是：当转盘的角速度从零开始缓慢增加，是绳先断还是A、B间先相对滑动，还是B与转盘间先相对滑动？
图8
（1）令绳不存在，假设A、B间先相对滑动，B与转盘间不相对滑动（也可以先假设B与转盘间先相对滑动，而A、B间不相对滑动），那么f=4N，对A的受力图如图9所示。f=mωr，代入数据解得ω=4rad/s。
图9 图10
（2）令绳不存在，假设B与转盘间先相对滑动，而A、B间不相对滑动，那么AB两物体作为整体的受力如图10所示。那么f=2N，f=(m+m)ωr，代入数据解得ω=2rad/s。
比较ω、ω，ω＜ω，当转盘的角速度从零开始缓慢增加到ω=2rad/s，B与转盘间将先相对滑动，在此之前绳中未出现弹力。在转盘的角速度超过2rad/s后，由于B与转盘间一旦要产生相对滑动，绳将产生阻止相对滑动的弹力，从此弹力便存在了，而B与转盘间的摩擦力保持为最大静摩擦力f=2N，且方向指向圆心。
此后，新出现的问题是，是绳先断还是A、B间先相对滑动？仍然用穷举法，不外乎两种情况：①绳先断②A、B间先相对滑动，上面已经讨论过②的情况，在ω=4rad/s时出现。
（3）假设绳先断，而A、B间相对静止。对AB两物体作为整体的受力如图11所示。F+f=(m+m)ωr，代入数据解得ω=2rad/s。
由于ω＞ω，故A、B间先相对滑动。并且A从B上滑出去。我们立即就想到一个问题：在A从B上滑出时，绳中弹力突变为零么？由于在步骤（2）中，ω的求解其实只与转盘间的动摩擦因数有关，所以只要加速度大于ω＝2rad/s，绳中就存在张力。
图11图12
（4）对B进行受力分析，如图12所示。F+f′=(m+m)ωr，注意，f′=1N，代入数据解得ω=3rad/s。当加速度超过这个数值后，绳将断裂，B将飞出去。
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