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双临界问题

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摘 要: 作者以实例结合自身的教学实践,介绍了双临界问题的教学方法。

关键词: 弹簧 接触弹力 摩擦力 双临界问题

一个物理问题中,往往会涉及几个物理过程,不同的物理过程,遵从不同的物理规律。物理过程有先有后,在前一个物理过程与后一个物理过程之间,必然存在这样一个状态――临界状态:此前为一个物理过程,此后是另一个物理过程,所以临界状态是从一个物理现象(状态、过程)变化为另一个物理现象(状态、过程)时所出现的转折点。

而双临界问题,是指有两个或两个以上的临界状态存在,这些临界状态要么存在某种特殊关联,要么在产生顺序上存在先后性,正是这种关联或先后性加大了双临界问题的难度。一般情况下,双临界问题由绳、弹簧、接触弹力、摩擦力等要素组成,对这些要素相关的力的特点必须非常熟悉,才能正确分析双临界问题。同时,还要善于使用穷举法、假设法等方法进行逻辑推理。我在此对几种要素的组合模型进行了分析。

一、弹簧和接触弹力的双临界

例1.如图1所示,小车沿水平面做直线运动,小车内光滑底面上有一物块被压缩的弹簧压向左壁,小车向左加速运动。物块质量为1kg,弹簧原长16cm,小车内底面长12cm,弹簧劲度系数为2N/cm,(1)若小车向左加速度6m/s,则物块受到车左壁给的弹力N和弹簧的弹力N的大小如何?(2)若小车向左加速度10m/s,则物块受到车左壁给的弹力N和弹簧的弹力N的大小如何?

图1

这里的接触弹力临界是指物块和小车左壁的接触与分离,而弹簧的临界是指弹簧长度变和不变的临界,弹簧和接触弹力双临界的特点是:(1)只要物块和小车左壁接触,那么弹簧的长度必然不变,弹簧的形变量不变,这就意味着弹簧弹力不变,变化的只是物块和小车左壁的弹力。(2)只要物块和小车左壁的分离,物块和小车左壁的弹力总为零,弹簧的长度必然改变,从而弹簧的形变量改变,这就意味着弹簧弹力发生变化。

不难看出,弹簧和接触弹力的临界产生了特殊的关联,使这两个临界有一个共同的临界点:物块和小车左壁接触,但弹力为零,弹簧长度不变。对物块进行受力分析,如图2所示。N-N=ma ①式,令,N=0,N=k(x-x)=2×(16-12)=8(N) 代入①式,得临界加速度a=8m/s。

图2

(1)若小车向左加速度6m/s,小于临界加速度8m/s,此时弹簧弹力不变N=8N,由①式得N=N-ma=8-a ②式,注意,这是一个差式表达式。当a≤8m/s,N≥0,N=8-a=8-6=2N。

(2)当a>8m/s,由②式N<0得,这说明N的方向与图2中的方向相反,这是违背弹力方向的规则的,是不可能的。因此,此时的N是不存在的,这意味着物块和小车左壁已经分离了,弹簧必然继续被压缩,弹簧弹力发生变化。令N=0,则N=ma=1×10=10N。

二、弹簧和摩擦力的双临界

例2.如图3所示,在水平面上质量为1kg的物体A拴在一被水平拉伸的弹簧的一端,弹簧的另一端固定在小车上。当它们都处于静止时,弹簧对物块的弹力大小为3N。物体A与小车间的动摩擦因素为μ=0.5,试求:(1)若小车以a=1m/s的加速度水平向右稳定地做匀加速运动时,物体A受到的摩擦力和弹簧弹力。(2)若小车以a=5m/s的加速度水平向右稳定地做匀加速运动时,物体A受到的摩擦力和弹簧弹力。(3)若小车以a=10m/s的加速度水平向右稳定地做匀加速运动时,物体A受到的摩擦力和弹簧弹力。

图3

从上一问题我们可以看出,有弹簧存在的临界问题的特点是:物体不(相对)动,弹簧弹力不变;物体(相对)动,弹簧弹力变化。与摩擦力临界相结合后,其与摩擦力临界的关联是:(1)物体不(相对)动,弹簧弹力不变,静摩擦力变化,但必须小于最大静摩擦力。(2)物体(相对)动,弹簧弹力变,静摩擦力不变,等于最大静摩擦力。

设摩擦力的方向水平向左,受力图如图4所示,F-F=ma ①式,令F=3N,有F=3-a,由于-μF≤F≤μF,解得-2m/s≤a≤8m/s,当F=0,解得a=3m/s。

图4

(1)当-2m/s≤a<3m/s时,F≥0,弹簧弹力不变,F=3N,静摩擦力大小变化,方向水平向左。由①式代入数据得:F=4N。

(2)当3m/sa<a≤8m/s时,F<0,弹簧弹力不变,F=3N,静摩擦力大小变化,方向水平向右。由①式代入数据得:F=-2N。

(3)当a>8m/s时,F<-5N,其大小超过了最大静摩擦力,物体将相对小车滑动,使摩擦力保持为最大值不变,方向水平向右;弹簧将继续被拉伸,弹簧弹力增加,F=F+ma=-5+a=5N,静摩擦力大小不变为F=5N。

三、摩擦力和摩擦力的双临界

例3.如图5所示,质量M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上,木板与地面间的动摩擦因数μ=0.1,在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块,铁块与木板间的动摩擦因数μ=0.4,取g=10m/s,若在铁块上的右端施加一个大小从零开始连续增加的水平向右的力F,通过分析和计算后,试判断是铁块与木板间先滑动,还是木板与地面间先滑动?

摩擦力和摩擦力的双临界问题关键是分析判断哪一个接触面先滑动。面对本题所涉及的问题,应用穷举法分析,不外乎两种情况。

图5

(1)设铁块与木板间先滑动

不难求得,铁块与木板间的最大静摩擦力为4N,木板和地面间的最大静摩擦力为2N。铁块与木板间先滑动的话,木板必然不动,铁块右端施加的水平向右的力F至少应当等于铁块与木板间的最大静摩擦力为4N。可是,铁块与木板间的摩擦力为4N,已经超过了木板和地面间的最大静摩擦力为2N,木板不可能不动。故而,这种情况不可行。

(2)设木板与地面间先滑动

木板与地面间先滑动的话,铁块与木板间必相对静止,也即铁块和木板一起运动,可看做整体,而木板和地面间的最大静摩擦力为2N,水平拉力至少为2N。由于水平拉力为2N时,系统匀速运动,铁块和木板间的摩擦力也为2N,小于最大值4N,是可行的。

现在,结论是木板与地面间先滑动,而铁块与木板间后滑动。看来这种先假设后分析的方法是解决这种问题的有效方法。

四、绳与绳的双临界

例4.如图6所示,两根线系着同一小球,两根线的另一端连接于竖直轴上的A、B两点,其中AC长度为l=2m。今使小球绕竖直轴以角速度ω匀速转动而使两线均被拉直,分别与杆夹30°和45°角,则转动角速度ω的取值范围应如何?

我们仍用穷举法,两根绳的松紧状态组合共有四种情况:

图6

(1)绳AC、BC皆松弛。

直接排除。

(2)绳AC松弛,绳BC绷紧。

从几何关系上,不难发现,这种情况下,绳BC与竖直方向的夹角一定大于45°。

(3)绳BC松弛,绳AC绷紧。

同样从几何关系上看,在这种情况下,绳AC与竖直方向的夹角一定小于30°。

(4)绳AC、BC皆绷紧。

从几何关系上看,绳BC与竖直方向的夹角一定等于45°,绳AC与竖直方向的夹角一定等于30°。

而使两线均被拉直,分别与杆夹30°和45°角的临界状态就是:(1)绳BC拉直,但拉力为零,绳AC绷紧;(2)绳AC拉直,但拉力为零,绳BC绷紧。根据这两个临界状态,就可以解出角速度ω的上下限。

五、绳和摩擦力的双临界

例5.如图7所示,V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转到,OO′沿竖直方向,V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°。两质量均为m=0.1kg的小环,分别套在V形杆的两臂上,并用长为l=1.2m、能承受最大拉力F=4.5N的轻质细线连结,环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍。当杆以角速度ω转到时,细线始终处于水平状态,取g=10m/s。(1)求杆转动角速度ω的最小值;(2)将杆的角速度从(1)问中求得的最小值开始缓慢增大,直到细线断裂,写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式。

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图7

这里,困惑学生的问题是:绳的弹力是可变的,杆对小环的摩擦力也是可变的,两者的变化有关系么?绳松紧的临界与摩擦力的临界又有着怎样的关联?

仍用穷举法么?这里不需要。我们回顾一下,如何判断弹力的有无呢?移物法。将细线去掉,观察小环是否会相对杆向上移动。如会,则绳绷紧,绳中有弹力,如不会,则不移绳,而是移去小环,由于是轻绳,重力不计,故绳也不动,绳中必无弹力。

简而言之,移去绳,小环相对杆向上移动,则绳中有弹力,摩擦力必为最大静摩擦力,方向沿杆向下。移去绳,小环相对杆静止,绳中必无弹力。此时,只剩下摩擦力的临界问题。

按角速度从小到大的顺序,

①在角速度很小时,移去绳,小环沿杆下移,促使绳间距变短,形成正反馈,小环将不断下移。

②如果增大角速度,移去绳,小环刚好不下移,静摩擦力沿杆向上,为最大静摩擦力。这是题目第一问的临界条件。

③再增大角速度,移去绳,小环刚好不沿杆上滑,静摩擦力沿杆向下,为最大静摩擦力。从此开始,绳中产生弹力。这是题中第二问的临界条件之一。

④如果角速度更大,移去绳,小环必沿杆上滑,故绳中必有弹力,摩擦力将保持为最大静摩擦力,方向沿杆向下。绳中弹力会随角速度的增加二增加,直至达到绳断裂的临界点:F=4.5N。

六、绳、摩擦力和摩擦力的多临界

例6.如图8所示,水平转盘可绕竖直中心轴转动,盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块,B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连,两个物块和传感器的大小均可不计。细线能承受的最大拉力为8N。A、B间的动摩擦因数为0.4,B与转盘间的动摩擦因数为0.1,且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时,细线刚好伸直,试分析当转盘的角速度从零开始缓慢增加后,将会出项怎样的物理现象(g取10m/s)。

需要我们解决的问题是:当转盘的角速度从零开始缓慢增加,是绳先断还是A、B间先相对滑动,还是B与转盘间先相对滑动?

图8

(1)令绳不存在,假设A、B间先相对滑动,B与转盘间不相对滑动(也可以先假设B与转盘间先相对滑动,而A、B间不相对滑动),那么f=4N,对A的受力图如图9所示。f=mωr,代入数据解得ω=4rad/s。

图9 图10

(2)令绳不存在,假设B与转盘间先相对滑动,而A、B间不相对滑动,那么AB两物体作为整体的受力如图10所示。那么f=2N,f=(m+m)ωr,代入数据解得ω=2rad/s。

比较ω、ω,ω<ω,当转盘的角速度从零开始缓慢增加到ω=2rad/s,B与转盘间将先相对滑动,在此之前绳中未出现弹力。在转盘的角速度超过2rad/s后,由于B与转盘间一旦要产生相对滑动,绳将产生阻止相对滑动的弹力,从此弹力便存在了,而B与转盘间的摩擦力保持为最大静摩擦力f=2N,且方向指向圆心。

此后,新出现的问题是,是绳先断还是A、B间先相对滑动?仍然用穷举法,不外乎两种情况:①绳先断②A、B间先相对滑动,上面已经讨论过②的情况,在ω=4rad/s时出现。

(3)假设绳先断,而A、B间相对静止。对AB两物体作为整体的受力如图11所示。F+f=(m+m)ωr,代入数据解得ω=2rad/s。

由于ω>ω,故A、B间先相对滑动。并且A从B上滑出去。我们立即就想到一个问题:在A从B上滑出时,绳中弹力突变为零么?由于在步骤(2)中,ω的求解其实只与转盘间的动摩擦因数有关,所以只要加速度大于ω=2rad/s,绳中就存在张力。

图11图12

(4)对B进行受力分析,如图12所示。F+f′=(m+m)ωr,注意,f′=1N,代入数据解得ω=3rad/s。当加速度超过这个数值后,绳将断裂,B将飞出去。

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