平面向量与不等式考点例析
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平面向量在高考中的考点主要包括：平面向量的概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标运算、数量积及非零向量的平行与垂直等。其中平面向量的数量积是C级考点外，其余的都是B级考点，总体上讲考点的层级比较高。在进行高三数学的二轮复习时要注意两方面：一是重视平面向量的基础知识、基本应用；二是注重数学思想方法在平面向量中的运用，尤其是数形结合、转化与化归的思想方法在平面向量中的运用。
【例1】 平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的动点，满足AD=λAC(λ∈R).
（1） 求|2AB+AC|的值；
（2） 求cos∠BAC；
（3） 若BDBA，求实数λ的值．
分析 本题主要考查了平面向量的坐标表示、向量线性运算的运算法则和基本运算能力、平面向量的数量积及其模、夹角的运算。
解 （1） AB=(－1,1),AC=(1,5)，
解法1：2AB+AC=(－1,7)，
|2AB+AC|=(－1)2+72=52．
解法2：|2AB+AC|2=4AB2+AC2+4AB•AC=8+26+4×［(－1)+5］=50,
|2AB+AC|=52．
（2） cos∠BAC=AB•AC|AB||AC|，
cos∠BAC=(－1)×1+1×5(－1)2+12•12+52=21313．
（3） BD=AD－AB=λ(1,5)－(－1,1)
=(λ+1,5λ－1)，
BDBA，BD•BA=0．
BA=(1,－1)，即(λ+1)×1+(5λ－1)×(－1)=0，解得λ=12．
点拨 求平面向量的模常用的两种方法：方法1 已知其坐标a=(x,y)，则直接利用公式|a|=x2+y2求得即可；方法2 利用公式|a|=a2，借助向量数量积求得|2AB+AC|2，进而再求出|2AB+AC|；求夹角时常用公式cosθ=a•b|a||b|直接求得，或结合解三角形知识求得；两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)共线充要条件的坐标表示：x1y2－x2y1=0；两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)垂直充要条件的坐标表示：x1x2+y1y2=0。
【例2】 已知O,A,B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|OA|=7，|OB|=5，则OP•BA的值为
.
分析 本题主要考查了平面向量线性运算的运算法则、平面向量的数量积以及基本运算能力，渗透数形结合、转化与化归等数学思想方法。
解 如图，取AB的中点C，连接PC、OC、OP．
OP•BA=(OC+CP)•BA=OC•BA+CP•BA=OC•BA=12(OA+OB)•(OA－OB)=12(OA2－OB2)=12．
点拨 向量a，b的数量积a•b=|a||b|•cosθ，当向量a，b不共线时，可以选取a，b作为基底来表示其他向量，将所求向量的数量积转化为向量a，b（基底）的数量积，即“基底化”。“基底化”的关键是如何选择基底，如本题已知|OA|=7，|OB|=5，故首先考虑选择向量OA,OB作为基底。
【例3】 在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则AM•AN的最大值是 ．
分析 本题主要考查了平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、线性规划以及基本运算能力，渗透数形结合、转化与化归等数学思想方法。
解 以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），则A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)、M(2,1)，设N(x,y)．
AM=(2,1),AN=(x,y),
AM•AN=2x+y，令z=2x+y,
列出线性约束条件0≤x≤2，0≤y≤2，
(x,y)取（2,2）时，zmax=2•2+2=6．
(AM•AN)max=6．
点拨 已知两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，向量a，b的数量积a•b=x1x2+y1y2。通过建立直角坐标系，将向量“坐标化”，把向量的数量积转化为坐标运算。“坐标化”的关键是如何恰当的建立直角坐标系进行“坐标化”。如本题根据正方形ABCD边长为2这个条件，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系。
【例4】 设关于x的不等式|x2－2x+3m－1|≤2x+3的解集为A，且－1A,1∈A，则实数m的取值范围是 .
分析 本题主要考查了一元二次不等式的解、绝对值不等式的求解、集合与元素之间的关系以及集合的基本运算，是一道综合性较强的基础性小题。
解 由－1A，可得|(－1)2－2×(－1)+3m－1|>2×(－1)+3，即|3m+2|>1，解得m－13；由1∈A，可得|12－2×1+3m－1|≤2×1+3，即|3m－2|≤5，解得－1≤m≤73，所以m∈－13,73．
点拨 解决此类问题的关键是根据已知不等式解的条件准确构造不等式。如本题根据－1A与1∈A构造关于m的不等式，然后求解。解决绝对值不等式的基本方法就是去绝对值符号。绝对值不等式与其他形式的不等式求解问题结合在一起也是一个命题热点。
不等式主要内容有一元二次不等式、基本不等式、线性规划。二轮复习时要注意三方面：一掌握好基础知识，把不等式作为解决问题的基本工具，广泛地渗透到其他知识点；二是要把不等式与函数方程联系起来，在数形结合中理解不等式，用变化的观点理解不等式；三是要学会用不等式的意识。
【例5】 函数y=x－1x+3+x－1的最大值为 .
分析 本题主要考查了基本不等式求解函数的最值以及换元法的应用，是一道较为综合的基础性题目。
解 令t=x－1≥0，则x=t2+1.
所以y=tt2+1+3+t=tt2+t+4.
当t=0，即x=1时，y=0；
当t>0，即x>1时，y=1t+4t+1，
因为t+4t≥4（当且仅当t=2时取等号），
所以y=1t+4t+1≤15，即y的最大值为15（当t=2，即x=5时取得最大值）.
点拨 以求解函数最值或范围为背景考查基本不等式的应用问题在近几年高考试题中经常出现。解决此类问题的关键在于根据解析式的结构特点灵活变形，构造基本不等式求解最值，在解题过程中应该注意两个方面：一是解析式的变形必须是恒等变形，如本题中在处理式子tt2+t+4时，应注意只有当t≠0时才能化为1t+4t+1；二是利用基本不等式求解最值时，一定要注意检验“一正、二定、三相等”，尤其检验等号成立的条件是否成立，如果不成立，再利用函数的单调性求解最值。
【例6】 某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5 m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB、CD的长，可使建造这个支架的成本最低？
分析 本题主要考查了解三角形、应用基本不等式求最值、解决实际应用题的基本步骤以及换元法、转化与化归等数学思想方法。
解 设BC=a m(a≥1.4),CD=b m.
连接BD.
则在CDB中，b－122=b2+a2－2abcos60°.
b=a2－14a－1.b+2a=a2－14a－1+2a.
设t=a－1,t≥2.82－1=0.4,
则b+2a=(t+1)2－14t+2(t+1)
=3t+34t+4≥7,
等号成立时t=0.5>0.4,a=1.5,b=4.
当AB=3 m,CD=4 m时，建造这个支架的成本最低.
点拨 应用基本不等式的实际应用问题在高考中频繁出现，解决此类问题的关键是由实际问题及条件正确构造函数关系式（建模），再利用基本不等式求解最值，求解最值时应该注意自变量的取值范围，并注意检验等号成立的条件，最后要注意回归实际问题。
牛刀小试
1. 在ABC中，AB=3,AC=2,若O为ABC的外心，则AO•BC= ．
2. 已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且|MN|≤1,则OM•ON的取值范围是 ．
3. 已知不等式x2－2x－3
4. 若对任意的x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围是 ．
5. 某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足x=3－km+1（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
(1) 将该厂2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2) 该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【参考答案】
1. －52
2. ［2－2,2)
3. 1
4. a≥15
5. （1） y=28－16m+1－m(m≥0) （2） m=3时，ymax=21
（作者：陆凯,江苏省盐城市第一中学）