相似与全等对对碰

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1. 定义

（1）相似形：形状相同的图形叫做相似形.

由于定义中只强调了形状，所以相似形只与图形的形状有关，而与图形的大小、位置无关，如图1和图2所示.

在图1中，两个奖杯虽然大小有区别，可是形状完全相同，所以它们相似；在图2中，尽管两个图形的其中一个是倾斜的，可不难看出它们的形状完全相同，故也为相似形.

（2）全等形：不仅形状相同而且大小也相同的图形叫做全等形.

定义中强调了形状和大小，所以程度比相似加深了，但是定义没有强调位置，所以全等形与图形的位置无关，如图3和图4所示.

图3中两个梨摆放的位置不一样，可是大小、形状完全相同，故为全等形；图4中两个图形无论是大小、形状还是摆放的位置都完全相同，所以也为全等形.

2. 符号

（1）相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”. 如果ABC和DEF相似，可用数学符号记作：ABC∽DEF.

（2）全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 如果ABC和DEF全等，可用数学符号记作：ABC≌DEF. 全等的符号是在相似符号“∽”的下面多了一个“=”.

3. 性质

（1）相似形

在相似三角形中，对应角相等；对应边、对应高、对应中线、对应角平分线以及周长，它们的比都等于相似比，而面积的比则等于相似比的平方.

在图5和图6中，如果ABC∽A1B1C1，它们的相似比为k，CD，C1D1分别是它们的高（或中线或角平分线），那么∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠ACB=∠A1C1B1；AB ∶ A1B1=BC ∶ B1C1=AC ∶ A1C1=CD （2）全等形

全等形的对应角相等；对应边相等；周长相等；面积相等.

在图7和图8中，如果ABC≌DEF，则AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠E=∠B，∠D=∠A，∠F=∠C，且它们的周长相等，面积也相等.

4. 判定定理

（1）相似形

在初中阶段学习的相似形中，相似三角形是重点内容. 判定两个三角形相似有下面的五种方法：①定义：两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例. ②两个三角形中有两角对应相等. ③两个三角形的两边对应成比例且它们的夹角相等. ④两个三角形的三边对应成比例.⑤如果一个直角三角形一条直角边和斜边分别与另一个直角三角形一直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

欲使两个三角形相似，我们常用的方法是先寻找对应角相等，再判断对应边成比例. 首选的方法是两角对应相等，其次是两边对应成比例且夹角相等，如果还不能够证明相似，再寻找其他的判定方法.

（2）全等形

在初中学习的全等形中，以全等三角形为重点.判定两个三角形全等有以下6种方法：①定义：两个三角形的三个角对应相等，三条边对应相等（对应边的比值为1）. ②两个三角形的两个角及其夹边对应相等（ASA）. ③两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等（AAS）. ④两个三角形的两边及夹角对应相等（SAS）.⑤两个三角形的三边对应相等（SSS）.⑥直角三角形一条直角边和斜边与另一个直角三角形一条直角边和斜边对应相等（HL）.

由上可知，欲证明两个三角形全等，必须有三个对应元素相等，并且其中至少有一条是边. 其中，直角三角形中隐含有勾股定理的三边关系，所以只需斜边、直角边对应相等即可. 解题时需注意，HL只适用于直角三角形.

注意 在判定两个三角形全等时容易出现下面的错误——通过一个三角形的两边及其中一边的对角与另一个三角形的两边及一边的对角对应相等来判定两个三角形全等，即所谓的“边边角”（SSA）.

1. 全等是特殊的相似，它们是特殊与一般的关系

相似在定义中只强调了形状相同，而全等则在强调形状相同的同时还强调了大小也要相同，所以全等比相似的程度更深，也即是全等包含在相似当中，是相似的特殊情况. 若两个图形全等，则它们必相似，但若两个图形相似，它们不一定全等.

2. 全等与相似均具有传递性

相似和全等都具有传递性，即若ABC∽DEF，ABC∽MNP，则DEF∽MNP；若ABC≌DEF，ABC≌MNP，则DEF≌MNP.

3. 书写全等和相似的时候均要求对应顶点对应写

表示两个三角形相似时，要求对应顶点对应写，从书写的顺序便可以看出对应顶点、对应边. 比如ABC∽DEF，则点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应. 全等也是一个道理.

在解决相似与全等的问题时，我们必须熟悉相似三角形与全等三角形常用的证题方法和技巧. 即使是多边形也可以将其转化为三角形来解决.

要证明线段相等或角相等，通常是通过证明三角形全等而得到. 证明两个三角形全等时，通常是根据具体问题来合理选择“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”.

要证明线段成比例，一般是证明线段所在的两个三角形相似，证明时需合理选择证法：两个三角形中的两对对应角相等；或两边对应成比例夹角相等；或三边对应成比例.

试题1 如图10所示，ABCD是矩形纸片，F是AB边上的一点，把ADF沿折痕DF向下翻折，若点A恰好落在BC边上，设这个点为E.

（1）找出图中的相似三角形和全等三角形，并加以证明.

解析 （1）由于翻折是全等变换，所以AFD≌EFD. 由两角对应相等，两三角形相似可以判定BEF∽CDE. （2）设BF=3x，则FA=5x. 由于AFD≌EFD，所以FA=FE=5x. 在RtBFE中，根据勾股定理可得BE=4x. 又因为BEF∽CDE，所以BF ∶ CE=BE ∶ CD，即3x ∶ CE=4x ∶ 8x.所以CE=6x. 因为AD=ED=BC，所以ED=10x. 在RtEDF中，根据勾股定理可得x=1. 所以AB=8，BC=10.

试题2 如图11所示，在平行四边形ABCD中，AEBC于点E，AFCD于点F，BD与AE，AF分别交于点G，H.

（1）求证：ABE∽ADF.

（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形.

解析 （1）因为AEBC，AFCD，所以∠AEB=∠AFD=90°. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABE=∠ADF. 所以ABE∽ADF.

（2）因为ABE∽ADF，所以∠BAG=∠DAH.因为AG=AH，所以∠AGH=∠AHG. 从而∠AGB=∠AHD.所以ABG≌ADH. 所以AB=AD. 又因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形.

在中考中，命题者常常把全等和相似结合在一起进行综合考查. 解题时要结合题目所给条件，灵活运用所学知识进行解答，有时还需结合方程思想、类比思想等思想方法. 一般来说，题目中有几个小问的话，前一问所得的结论可作为下一问的条件来利用.