掌握方法 应对中考

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所谓数学思想方法，是指数学知识的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中，它能够迁移和应用于相关学科和社会实践中，是数学的灵魂. 中学数学思想方法主要包括函数、方程、数形结合、分类讨论、化归转化、整体代换、构造等. 本文举例说明在中考试题中渗透的数学思想方法，供同学们参考.

一、方程思想

在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法；二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了.

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决. 用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活简便.

例1 已知=+，求A和B的值．

分析：可以对等式右边先进行通分，再做分式的加法，这时右边分式的公分母与左边分式的分母相同，那么右式的分子A（x-2）+B一定与左式的分子相等，从而可列出关于A，B的方程组，求得A和B的值．

解：=+==．

所以A=1，-2A+B=-3. 解得A=1，B=-1.

二、函数思想

函数思想，就是要善于用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题和解决问题. 用函数的思想去讨论方程的问题是中考的必考内容，函数思想几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用.

例2 某电视台在某一天晚上黄金时段的3min内插播长度为20s和40s的两种广告，20s广告每次收6000元，40s广告每次收10000元，若要求每种广告播放不少于两次，且电视台选择收益最大的播放方式，则在这一天黄金时段3 min内插播广告的最大收益是元.

分析：本题主要考查用函数思想来解决问题，设3min插播20s广告x次，40s广告是次，由x≥2,≥2. 解得2≤x≤5，收益为y= 6000x+10000×=1000x+45000，当x=5时，y有最大收益50000.

解：最大收益是50000元.

三、数形结合思想

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学.“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴涵着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形作出直观的反应和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法.

数形结合的思想，就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想. 在解题方法上，“数”与“形”相互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的.

例3 甲、乙各有人民币若干元，甲拿出给乙后，乙又拿出给甲，这时他们各有90元钱，问他们原来各有多少钱？

分析：此题中“这时他们各有90元钱”隐含了“甲、乙二人共有180元钱”这一条件，同学们不易想到． 其次，题中所给的已知“甲拿出给乙后，乙又拿出给甲”，容易使同学们的思路混乱．在这种情况下，我们可以用列表的方法搞清甲、乙二人的钱数关系，如果设甲原来有x元，则有：

解：设甲原有x元，那么乙原有（180-x）元，根据题意，得

1-（90×2-x）+=90．

解得x=75，则180-x=105．

答：甲原有75元，乙原有105元．

四、分类讨论的思想

对于一个比较复杂的或者不能找到统一的解(证)法的数学问题，可以把问题分成几类分别加以讨论解决，这种方法称为分类法.分类讨论思想是中学数学中较常用的思想方法.

例4 一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则该直角三角形的面积为（）．

A. 24 B. 6 C. 48 D. 24或6

分析：这是一道比较基础却很典型的分类讨论题，题设中直角边、斜边指向不明，诱发分类讨论.

① 当6、8是直角三角形的两条直角边时，这个三角形的面积为 ×6×8=24；

② 当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，由勾股定理，得另一直角边长为=2，此时这个三角形的面积为×6×2=6．

条案：D．

点评：通过上例可以看出分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题进行分类、求解，要特别注意分类必须标准统一、不重、不漏、最简等原则.

五、化归转化思想

化归转化思想是指运用某种手段或方法把待解决的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为熟悉的规范性的问题来解决的思想方法.化归的关键是明确化归的对象、目标和方法，化归的核心是实现问题的规范化，化归是数学解题的最基本的思想方法之一，在解题中应用十分广泛.

例5 已知实数x，y，z满足：xyz≠0，2x+3y-13z=0，x-2y+4z=0.求的值.

解：将z看做“常数”解关于x，y的二元一次方程组，用z分别表示x，y，这样就能达到将三元转化为一元，最后消元的目的，再代入待求分式就可以获解.

由已知条件得：2x+3y=13z （1）x-2y=-4z.（2）解这个关于x，y的二元一次方程组得：x=2z，y=3z.

于是，===.

六、整体思想

“整体思想”是一种非常重要的数学思想, 在整式的运算中, 若能灵活运用, 会给解题带来很大的方便.

例6 已知y+b与x+a（a，b为常数）成正比例，且x=3时，y=5；x=2时，y=2. 试确定y与x的函数关系式.

解： y+b与x+a成正比例， y+b=k(x+a)(k≠0), 即y=kx+(ka-b) (1)

当x=3时，y=5；当x=2时，y=2，代入（1），得

3k+（ka-b）=5，2k+（ka-b）=2.

解之，得k=3，ka-b=-4，于是，y与x的函数关系式为y=3x-4.