矩形中两类相似引发的思考

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问题一：

如图1，矩形ABCD中，点P是BC上异于B，C的一动点，作APPE，PE交CD于点E.求证：ABP∽PCE.

图1这一问题利用两对应角相等，容易判定ABP∽PCE.有一个对应角是直角，只要证明∠BAP=∠CPE即可.证明的方法通常有两种：

（1）因为∠BAP+∠BPA=90°， ∠EPC+∠BPA=90°.所以∠BAP=∠EPC.

（2）因为∠BAP+∠ABP=∠APC， ∠CPE+∠APE=∠APC .所以∠BAP=∠EPC.

也就是说当APPE时，一定有ABP∽PCE.但是结论成立的前提是边PE与边CD相交.那么相交时矩形两邻边的长应满足什么条件呢？

为了便于说明我们设AB=a，BC=b，BP=x，PC=b-x.

因为ABP∽PCE，所以ABPC=BPCE，那么CE=BP·PCAB，代入可得CE=x（b-x）a，整理为CE=-1a（x-b2）2+b24a.可以得出：当点P运动到BC中点时，CE有最大值b24a.要想点E在CD上，必须CE≤CD，即b24a≤a，得到b≤2a.

当b=2a时，点P运动到中点时，点E与D点重合（如图2）.

图2 图3 图4当b

矩形的边满足b=2a数量关系时，当D与E重合时（如图2），此时ABP 与PCE全等，且都与APE相似，都是等腰直角三角形，得到ABP∽PCE∽APE.

我们猜想会不会当b

因为ABP∽PCE，所以ABPC=APPE.因为BP=PC， 所以ABBP=APPE.因为∠B=∠APE， 所以ABP∽APE.可得ABP∽PC∽APE.以上的猜想是正确的.在上面的证明中要体会到中点位置的

作用，如果不是中点，就不能实现BP与PC的互换，两两相似的结论是不成立.我们可以利用下图能更直观地看出当ABP∽PEC∽APE时，点P是中点的理由（如图4）.

作PFAE于点F，我们知道在RtAPE作斜边AE的高，可得APF∽PEF∽APE.因为ABP∽PEC∽APE，可以得到APF∽ABP， PEF∽PEC.由于这两对相似三角形都公共的斜边，所以APF≌ABP，PEF≌PEC.也可以看作将ABP和PEC分别沿AP、PE翻折后与APE重合.从而得到BP=PF=PC，也就是说点P是BC中点.同时还得到结论：AB+CE=AE；AP平分∠BAE， PE平分∠AEC.

我们把此时矩形中的直角梯形ABCE（如图5）单独思考.就会发现这个梯形具备以下几个特征：

（1）AB+CE=AE

（2）∠BAE的平分线PA，∠AEC的平分线PE交于BC的中点P.

（3）以BC为直径的圆与AE相切，切点为F（如图6）；以AE为直径的圆与BC相切，切点为P（如图7）.

直角梯形以上的三个特点是可以互相推出的，即知其二，得其一，即：

①如果AB+CE=AE，BC的中点是P，那么PA平分∠BAE，PE平分∠AEC；

②如果AB+CE=AE，∠BAE的平分线PA，∠AEC的平分线PE交于点P，那么P是BC的中点；

③如果PA平分∠BAE，PE平分∠AEC，P是BC的中点，那么AB+CE=AE.读者可自己证明.

那么具备以上特点的梯形如何可以得到呢？通过图6的启示，我们可以利用圆来实现.即：

如图8，过O的直径AB的两端点B， C作切线，与过圆上一点E所作切线交点分别是A、D，得到了直角梯形ABCD.由切线的性质及切线长定理，可知梯形ABCD就是所求梯形（如图9）.

由图4的启发，我们还可以用另一方法实现这一梯形的得出.如图9，作RtAOD的高OE，将OE沿AO，DO向外翻折得到AB，CD，连接BC，所得的梯形ABCD即是.

梯形中两底与斜腰满足AB+CD=AD，那么两底AB和CD与直腰BC有什么数量关系呢？在辅助圆的帮助下，我们就可以得出答案了.如图9.我们知道OE为RtAOD斜边AD上的高，就有结论OE2=AE·ED也就是（BC2）2=AB·CD，整理为BC2=4AB·CD.

用上面的方式得到的梯形当BC不变时，当点E的位置发生变化AB，和CD的长度就随着变化.梯形ABCD的面积就发生变化，这一变化过程中，面积是有最大值还是最小值呢？

我们设BC=b，AB=x，CD=b24x.那么梯形面积S=12（x+b24x）b.我们可以看到当x.变小时， b24x就会变大，反之亦然.也就是说S没有最大值，可能会有最小值.但是通过S=12（x+b24x）b这一表达式，很难看出最小值是多少？我们还得借助圆来得出答案（如图10）.

作OFBC交AD于点F，可得OF为梯形的中位线. 梯形的面积S=OF·BC.由此可以直观的看出，随着点E的运动，OF的长会不断变大，找不到最大值，当点E，F重合时，即如图11，OF可以取到最小值OE，所以梯形面积S=OF·BC有最小值即S=BC22，此时的梯形变成了矩形.

问题二：

如图12，矩形ABCD中， 点P是BC上异于B，C的一动点，连结AP，PD，点P运动到什么位置时， ABP∽PCD？

由问题一知道：当∠APD=90°时， ABP∽PCD.也就是说如果在BC上找到一点P，使∠APD=90°，就可以得到ABP∽PCD.此时ABP∽PCD∽APD

是否存在这样的点P，使∠APD=90°，这是首要思考的问题.我们知道：在圆中直径所对的圆周角等于90°， 那么以AD为直径作圆，通过圆与BC相离、相切、相交的三种位置关系判断是否存在P点使∠APD=90°.

交点如图13，共三种情况：

（1）当b2a时，两交点

通过图象的交点个数，我们可以得到使ABP∽PCD的点P的个数.那么如何求出BP的具体数值呢？

由问题一我们知道因为ABP∽PCD，所以ABPC=BPCD.我们设AB=a，BC=b，BP=x，PC=b-x，代入上式可得ab-x=xa，整理为x2-bx+a2=0.我们可以看出要想存在这样的点P，必须使方程有解，即（-b）2-4a2≥0.解得b≥2a.在有解的条件下，方程x2-bx+a2=0的解就是BP的值.

当相切时，点P是BC中点 （如图132）；当相交时，由圆的对称性我们可知BP1+BP2=BC，也就是说上述方程的两解之和就是BC.如图133通过这两种方式对点P存在个数存在条件的分析，我们要能体会到数形结合方法的相互补充.

再思考上面的思路：由∠APD=90°，得出ABP∽PCD是正确的.反过来当ABP∽PCD时就一定有∠APD=90°吗？ 由∠APD=90°，得出ABP∽PCD时，必须 AB与PC是对应边，BP与CD是对应边，反之也成立.也就是说我们用∠APD=90°来说明ABP∽PCD就遗漏了ABP∽PCD的第二种情形：AB与CD是对应边，BP与PC是对应边.必须将上种思路进行补充，使其全面.如下：

因为ABP∽PCD，所以ABCD=BPPC，可得aa=xb-x解得x=b2.也就是说当点P运动到BC中点时，在任意的矩形中，ABP∽PCD都成立的并且ABP≌PCD.

我们将问题二中的ABP∽PCD两种情况进行总结：

（一） ABP∽PCD与∠APD=90°的关系

（1） b≥2a时， AB与PC是对应边，BP与CD是对应边， ABP∽PCD，这时∠APD=90°，反之也成立

（2）AB与CD是对应边，BP与PC是对应边， ABP∽PCD，这时点P是中点，并不能保证∠APD=90°.只有b=2a时是∠APD=90°， 当b≠2a时， ∠APD≠90°.

（二） ABP∽PCD与P点个数

（1）b

（2）b=2a 时，使ABP∽PCD的点共一个，即中点，此时∠APD=90°.

（3）b>2a时，使ABP∽PCD的点共三个，①中点一个②使∠APD=90°的点有二个.

问题三：

如图14，在直角梯形ABCD中， ∠B=∠C=90°，点P是BC上异于B，C的一动点，连结AP，PD.点P运动到什么位置时， ABP∽PCD？

图14我们由问题一引申出的梯形（如图7）知道，当AB+CD=AD时，以AD为直径的圆与BC相切.由问题二分析相似的思路可以得出第一种相似情形（∠APD=90°）：

（1）当AB+CD>AD时， 以AD为直径的圆与BC相离.（如图141）

（2）当AB+CD=AD时， 以AD为直径的圆与BC相切.（如图142）

（3）当AB+CD

其中（2），（3）两情况存在∠APD=90°，使ABP∽PCD.

另一种相似情形是点P满足ABCD=BPPC的位置时，ABP∽PCD.这种情形对直角梯形都存在.

作者简介 张振中，男，1973年11月出生，中学一级教师.主要从事九年级数学教学工作，对中考题的研究，有若干文章发表.