一网打尽导数高考题型
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导数是高中数学的重要部分，《2012（江苏卷）考试说明》中明确导数的高考考核要求为A级与B级，其中导数的概念A级要求，其余均为B级要求。总览近年高考试卷，导数考题的形式是填空与解答都有，有难有易。从考试说明出发，切合高考实际，结合平时教学，列举以下几道比较新颖的题目与同学们分享，旨在启发引导。
类型一 定义的挖掘
若f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h2，求f′(x)．
分析 本题目标为f′(x)，而f(x)为抽象函数，没有具体表达式，无法直接求导，此时，应考虑通过定义来解决，故不难想到探索ΔyΔx。
解 ΔyΔx=2hx+5h+h2h=2x+5+h，令Δx0，即h0，则ΔyΔx2x+5，
由定义知，f′(x)=2x+5．
总结 本题为书本习题，目的在于加强对定义的理解与应用，在呈现方式上，Δx可以有所变化，可正可负，可以是Δx，可以是h，也可以是3Δx等其他形式，关键是抓住Δx的本质，即x的变化量趋于0。
类型二 几何意义的应用
已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是 ．
分析 要得到P处的切线方程，必须找到2个信息，其中P点坐标已知，故再求另一个点或斜率即可，结合题目背景不难想到求P点处的斜率。
解 k=f′(2)=1，x-y-2=0.
总结 导数定义及其几何意义是数与形的完美结合，本题的关键在于对图象信息的捕获与整合，掌握由形得数的数学技巧。
类型三 含参函数的单调性及最值
已知函数f(x)=x2+klnx(k为实常数)．
(1) 若k＝-2，求证：函数f(x)在(1,+∞)上是增函数；
(2) 求函数f(x)在［1,e］上的最小值及相应的x值．
分析 本题设置两个问题，含有参数，第1问k已赋值，较为简单，证明f′(x)>0即可；第2问参数k未定，需要讨论。
解 (1) 当k＝-2时，f(x)=x2-2lnx，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)=2x2-2x>0，故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数．
(2) f′(x)=2x2+kx，当x∈［1,e］时，2x2+k∈［k+2，k+2e2］．
若k≥-2，f′(x)在［1，e］上非负(仅当k＝-2，x＝1时，f′(x)＝0)，故函数f(x)在［1，e］上是增函数，此时f(x)min＝f(1)＝1.若-2e2
-2e2，x＝e时，f′(x)＝0)，故函数f(x)在［1，e］上是减函数，此时f(x)min＝f(e)＝k+e2.
综上可知，当k≥-2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当-2e2
总结 本题为典型考题，考点明确，难易搭配，定变结合，梯度分明。导数作为工具，可解决函数的单调性、极值、最值、值域等问题，当函数中出现参数时，就需要对参数进行分类讨论，讨论的原则是前提为限，不重不漏。
类型四 恒成立问题的研究
已知两个函数f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x．
（1） 若对任意x∈［-3,3］，都有f(x)≤g(x)成立，求c的取值范围；
（2） 若对任意x1∈［-3,3］，x2∈［-3,3］，都有
f(x1)≤g(x2)
成立，求c的取值范围．
分析 本题设置两个问题，形式相同，本质迥异，第1问f(x)与g(x)是相同自变量，故可引入h(x)=g(x)-f(x)后变成一个函数来处理；第2问f(x)与g(x)是不同自变量，要使f(x1)≤g(x2)恒成立，只能是f(x)max≤g(x)min，即转化为求最值问题，即可迎刃而解。
解 （1） 设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+c，
则h′(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，令h′(x)=0，解得x=-1，x=2．由h(-3)=c-45，h(2)=c-20，h(-1)=c+7，h(3)=c-9，在［-3,3］内，h(x)min=c-45,由题意得c≥45．
（2） 先求g(x)的最小值：因为g′(x)=6x2+8x-40=2(x-2)(3x+10)，令g′(x)=0，解得x=2或x=-103（舍），由g(-3)=102，g(3)=-30，g(2)=-48知，在［-3,3］内，g(x)min=-48；
再求f(x)的最大值：因为f′(x)=14x-28=14(x-2)，令f′(x)=0，解得x=2，由f(-3)=147-c，f(2)=-28-c，f(3)=-21-c知，在［-3,3］内，f（x）max=147-c，由题意，147-c≤-48，所以c≥195．
总结 本题关键在于审题与化归，对“同一”自变量的两个（甚至几个）函数可化为一个函数来解题，对“不同”自变量的两个函数时，只能分别求各自最值再作比较。
类型五 实际问题的应用
如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．已知AB＝20 km，BC＝10 km.为了处理它们的污水，现要在该矩形区域上(含边界)且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO.记铺设管道的总长度为y km.
(1) 设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数；
(2) 请你确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
分析 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，本题的切入点在于图形，将已知条件在图形上逐一落实，再结合图形特征，适当选定参数，构造对应的函数关系，通过求导求出函数的最小值，便可确定点O的位置。
解 （1） 延长PO交AB于点Q，则由条件知PQ垂直平分线段AB．
若∠BAO＝θ(rad)，则OA＝AQcosθ＝10cosθ，
故OB＝10cosθ，又OP＝10-10tanθ，
所以y＝OA+OB+OP＝10cosθ+10cosθ+10-10tanθ,故所求函数关系式为：
y＝20-10sinθcosθ+100≤θ≤π4.
（2） y′=-10cosθcosθ-(20-10sinθ)(-sinθ)cos2θ
=10(2sinθ-1)cos2θ,
令y′＝0，得sinθ＝12，
又因为0
当θ∈0，π6时，y′0，y是θ的单调增函数.所以当θ＝π6时，ymin＝10+103,此时OQ=1033 km.
答：略．
总结 应用题是高考的必考题型，本题是利用导数工具来解决实际优化问题，也属常见考试题型之一，解题关键在于建立目标函数及其定义域。本题还综合解三角形、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和综合解决问题的能力。
牛刀小试
1. 设函数f(x)可导，当Δx0时，求f(1+3Δx)-f(1)Δx．
2. 若直线y=kx-3与y=2lnx曲线相切，则实数k= ．
3. 已知函数f(x)＝x2+a|lnx-1|(a>0)．
(1) 当a＝1时，求函数f(x)在区间［1，e］上的最大值；
(2) 当x∈［1，＋∞)时，求f(x)的最小值．
4. 已知两个函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数，若存在x∈［-3,3］，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围．
5. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处．已知AB＝AC＝6 km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y.
(1) 设∠PBO＝α，把y表示成α的函数关系式；
(2) 变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小？
【参考答案】
1. 当Δx0时，f(1+3Δx)-f(1)Δx=
3f(1+3Δx)-f(1)3Δx=3f′(1).
2. 设切点为P(x0,y0)，由题意知，y0=kx0-3，
y0=2lnx0，
k=2x0.解得k=2e.
3. (1) 当a＝1，x∈［1，e］时，f(x)＝x2-lnx+1，f′(x)=2x-1x≥f′(1)=1，故f(x)在［1，e］上单调递增，则f(x)max＝f(e)＝e2.
(2) ①当x≥e时，f(x)=x2+alnx-a，f′(x)=2x+ax，a>0，f′(x)>0恒成立，
f(x)在［e，＋∞）上为增函数，故当x＝e时，ymin＝f(e)＝e2.
②当1≤x
(i) 当a2≤1，即0
故当x＝1时，ymin＝1+a，且此时f(1)
(ii) 当1
1,a2上小于0，在
a2，e上大于0，
所以f(x)在区间1,a2上为减函数，在a2,e上为增函数，
故当x=a2时，ymin=3a2-a2lna2，且此时fa2
(iii) 当a2≥e，即a≥2e2时，f′(x)在(1，e)上为负数，
所以f(x)在(1，e)上为减函数，故当x＝e时，ymin＝f(e)＝e2.
综上所述，函数y＝f(x)的最小值ymin=1+a,0
4. 由题意可得k≥-2x3+3x2+12x，设h(x)=-2x3+3x2+12x，在x∈［-3,3］，可求得h(x)的最小值为-7，故k≥-7.
5. （1） 在RtABC中，AB=6，∠ABO=π4,所以OB=OA=32．
由题意知0≤α≤π4，所以点P到A、B、C三点的距离之和为y=2PB+PA=2×32cosα+(32-32tanα)=32+322sinαcosα，
故所求函数关系式为y=32+32×2-sinαcosα0≤α≤π4．
（2） 由（1）得y′＝32×2sinα-1cos2α,令y′＝0，得sinα＝12，又0≤α≤π4，从而α＝π6，
当0≤α
所以当α＝π6时，y＝32+32×2-sinαcosα取得最小值，此时OP＝32tanπ6＝6km，即点P在OA上距O点6 km处．
答：变电站建于距O点6 km处，它到三个村庄的距离之和最小．
(作者：崔卫刚，启东市吕四中学)