反思能力的培养浅论高中生数学解题

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摘 要：高中生数学解题反思能力是指高中生主动地针对数学学习内容、学习方法、学习过程、学习状态及学习的情感和结果，进行全面的回顾及归纳，在回顾及归纳基础上研究并深究数学知识中所涉及的知识、思维及思路等的能力。本文就如何培养高中生数学解题反思能力进行了探析。

关键词：高中数学；反思能力；教师；学生

新《普通高中数学课程标准》将“反思”这一教学理念提到了一定的高度。反思是纠错的重要手段，当代科学家波普尔说：“错误往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素。”反思错误，弄清哪些地方易犯错误，分析出错原因，提出改进措施，总结正确的解题思路和方法，这是培养学生批判性思维的重要途径。学生在解题中出现的错误有知识缺陷造成的，有能力缺陷造成的，也有逻辑策略造成的，更有非智力因素造成的，在解完一个题目后就有必要对解题的正误作进一步的思考，及时总结。纠错反思可以改善学生的思维能力和学习习惯，提高解题能力，因此要求学生初步形成反思的意识，教师要提供必要的机会，使学生能从事反思性学习活动，培养和提高学生反思性学习能力。本文针对反思能力的培养作相关的论述。

1.培养反思能力的重要性

对班级学生进行的调查结果表明，绝大多数学生没有经常反思回顾的习惯，大多数学生只会在作业过程中偶尔回顾当天所学的知识，20%的学生从不回顾学习。解题过程中，65%以上的学生没有作小结的习惯，只有极个别的学生有做完题目后进行归纳总结的习惯。

学生的学习存在着两个很大弊端：一是只管做题，应付作业，只注重做题的结果而不注重解题的过程和解题后的反思；二是遗忘快，学生的学习只停留在片面的知识点而忽略知识整体，没有系统性，数学学习及解题单纯依靠记忆。因此，教师应鼓励学生在解题时自我探索，发现规律，引导学生对所学知识、所讲题目尤其是对出错的知识点回顾反思，加深印象，避免重蹈覆辙，提高解题效率。教师要让学生明白数学反思的必要性，要让学生明白只有经过多次的反思才能更好地进行深入研究及自我调整，要引导学生坚持反思学习。学生缺乏自我学习的反思能力，那么他们在以后的数学学习过程中遇到的失误就很难快速地溶解消化掉。荷兰著名数学教育家费赖登塔尔教授指出“通过反思才能使现实世界数学化”，因此在高中数学的学习中不能忽视反思这一环节。

2.培养反思能力的方法

（1） 正误对比，反思纠错。在教学过程中，对于某些题型，可以设置一些陷阱，采用正误对比方法，引导学生参与，让学生自己发现问题所在，引导学生去反思错误的根源，寻找解决问题的方法，从而加深学生的印象。

案例1：已知x>0，y>0，若x+2y=1，求 的最小值。

某学生给出的解法：由于x>0，y>0，故1=x+2y≥2√x・2y ，得xy≤ ， ≥8，又 ≥2√ ≥

2・√8=4√2，所以（ ）min=

学生的回答并没有引起太大的争议，表现比较平静。此时，教师可以引导学生反思一下他的解法，该生利用了基本不等式中已知和（积）为定值求积（和）的最值，我们在解决这类问题时要注意的是什么？这时，很多学生都知道，解这类问题时要特别注意“一正、二定、三等号”这三个缺一不可的条件。很快就发现本题中忽略了等号条件，导致错误，两个等号不能同时取得，用此方法只能得到 >4√2 ，无法求出最值。

继续引导，思考本题的解法，构造基本不等式积为定值的形式，且只使用一次基本不等式。教师提示学生对条件中“1”进行反代，不难得出本题的结果：

=3+2√2。

本题解答完成了，还可以继续反思解法，这类已知两个变量的关系求最值时，还能将所求的二元用一个变量表示，构造自变量x的函数。

（2） 看清实质，反思发现。在教学中，要引导学生反思发现很多结论的实质，通过挖掘结论的实质来解决新的问题。

案例2：设数列{an}是等差数列，

且a10=0，则a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n

（n≤18，n∈N*），类比此结论，可得在等比数列{bn}中，若b10=1，则b1b2…bn=b1b2…b19-n（n≤18，n∈N*）。

学生很容易得出本题的结果，若教师点评到此为止，则失去了本题的很多内涵。引导学生反思：等差数列和与项的关系S2k-1=（2k-1）ak，S2k=k（ak+ak+1），k∈N*，由此解决与等差数列和有关的问题。在等比数列中利用等差数列和的方法类比解决等比数列积的问题。

改编：等比数列{an}中，公比q>1，a10=1，则使a1+a2+…+an>

恒成立的正整数n的取值范围是 。

（3） 常规问题，反思本质。教学中，对例题作业等应引导学生深入探究，让学生从一道题中明白一类题，抓住一串题，达到举一反三的目的。

案例3： 正项数列{an}中，前n项和为Sn，且a1=2，an=2√2sn-1 +2（n≥2），求数列{an}的通项公式。

学生要得出答案不困难，可以构造 {√Sn}是一个首项和公差都是√2的等差数列，或证明{an}是一个首项为2公差为4的等差数列。但是仅得出答案学生的能力就没有得到提高。讲解本题时引导学生反思：怎样的数列能满足 {√Sn}和 {an}同时为等差数列，不难发现，等差数列的通项和前n项和分别满足形式an=kn+b，Sn=An2+Bn，只有当B=0即a1= 时，才有上述结论成立。

类题：（2010江苏19）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知 2a2=a1+a3，数列{√Sn}是公差为d的等差数列。

（1）求数列{an}的通项公式（用 n，d表示）；

（2）设c为实数，对满足m+n=3k 且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立。求证：c的最大值为 。

利用此结论，本题的第一问可以很容易解答。

（4） 一题多变，反思归纳。解题教学中，应注重变式教学，使学生开阔眼界，让学生参与，让学生抓住知识的联系与区别，促使学生进行归纳、思考、总结、激发学生的学习兴趣。

案例4：直线l经过P（2，1）并且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求AOB的面积的最小值。

学生给出两种常用方法：直线方程设为点斜式的函数最值法或设截距式的基本不等式法。解完本题后，可以反思：直线l与坐标轴围成的三角形可以在哪些象限？每个象限的三角形面积的取值范围怎样？

我们会遇到这样一类问题：经过 P（2，1）的直线与坐标轴围成的三角形面积为4，则这样的直线存在 条。

同时，反思：当例4中的AOB面积取得最小值时，点P处于怎样的位置？

（5） 一题多解，反思方法。在教学中，要倡导一题多解、一题多变、多题一解的训练，多层次、多方位、多角度启发学生探索，诱导学生反思，使学生养成多角度分析问题的习惯。

案例5：当x=1时，二次函数f（x）有最小值1，若把f（x）的图象向下平移3个单位，此时所得函数图象与x轴相交，并截x轴上的线段长度为4个单位，求f（x）的解析式。

二次函数问题，引导学生从二次函数三种解析式形式入手，选择三种方法求解，寻找f（x）所满足的三个条件即可求解。在解题训练时，要鼓励学生不能仅满足于一种解法，要多思考不同的解法，教会学生反思，培养学生思维的广阔性，让学生善于从不同的角度去思考问题。

综上所述，高中数学课堂需要学生掌握良好的解题反思技巧，良好的反思技巧可以帮助学生获得更多的数学知识。在以后的教学过程中，教师应不断重视高中数学反思技能的培养，使学生能够在反思中循序渐进，举一反三，提高解题能力。

（作者单位：江苏省苏州市高新区第一中学）