映“数”“形”花别样红

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摘 要：数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。而数形结合思想贯穿了整个初中数学教学过程，它的地位和作用可见一斑。数形结合将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。

关键词：数形结合；思维；数学素质教育；渗透；数学思想方法；切入点

进入初中学习后，几乎每一次数学考试结束后，总有学生会说：某某题计算量好大，好繁琐，算了很久都没有得出答案，还影响了后面题目的完成。其实，有时候做题时换个思路，角度，也许这道题就很轻松地解决了，真有这样神奇的方法吗？答案是肯定的，数形结合的思想就是其中最为耀眼突出的“法宝”之一。

我国著名数学家华罗庚说：“数形结合百般好，割裂分家万事非。”讲的就是数形结合思想的重要性。那么，什么是数形结合的思想呢？解决这个问题，首先我们得从“数”和“形”两个基本概念入手。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。

所谓数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。数形结合将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。

既然解决数学问题时运用数形结合的思想可以达到事半功倍的效果，那么在我们平时的数学教学中应该如何来渗透数形结合的思想呢？下面笔者结合具体的实例来分析：

一、以“数”解“形”

在初中数学中，图形是直观的，这是“形”的优点，任何事物集优、缺点于一体，“形”也有缺点，它不是很精确，比如有时候有些图形太过于简单，直接观察却看不出规律来，这时就要借助代数来分析计算。

例1.求直线y=x-1与抛物线y=x2+2x-2的交点坐标。

分析本题，在平面直角坐标系中画出直线与抛物线的草图，可以发现它们有两个交点，在第三、四象限，但不确定点的坐标，图形很直观，但不精确。那么怎么来求出交点坐标呢？我们可以借助“数”。我们借助函数解析式，交点的坐标都是满足直线和抛物线的解析式，那么我们可把交点的横坐标和纵坐标看做是直线和抛物线解析式联立的方程组的解，这样我们就可以“数”解“形”了。所以，对于本题，我们的做法是：

联立y=x-1

y=x2+2x-2得x-1=x2+2x-2，得x2+x-1=0，解此方程，求出对应的y，交点就求出了。

本题的解决充分展示了以“数”解“形”，运用代数可弥补图形带来的不足。

二、以“形”助“数”

从例1的解决中，我们体会到以“数”解“形”的“威力”，但是，心理学研究表明，学生对图形的认识比纯粹的文本（计算）更感兴趣。我们来看这个例子：

例2.解不等式x-1≥-x2+2x+1。

由于初中没学过解一元二次不等式，我们可用图象法解决此问题，令y1=x-1，y2=-x2+2x+1，然后在同一坐标系中画出函数y1和y2的图象，只要满足函数y1在y2图象上方对应的x的范围就是此不等式的解集，因此解此不等式得先求出函数y1与y2的交点（2，1）和（-1，-2），然后观察图象，得出结论：x≥2或x≤-1。

上述问题体现了以“形”助“数”的优越性，把“数”的对应――“形”找出来，利用图形来解决问题，既直观又简单，何乐而不为呢？

三、“数”“形”互变

例1和例2分别展示了“数”与“形”的优势，其实在解决实际问题中，很多数学问题中不仅仅是简单的以“数”解“形”或以“形”助“数”，而是需要“形”“数”互相变换。我们再看一个例子：

例：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下，对称轴为x=1，交于y轴正半轴，与x轴的交点（左边的位于-1与0之间，右边的位于2和3之间）。

①abc>0；②bm（am+b）（m≠1的实数），其中正确的结论有_____

对于①，即求a，b，c的符号，抛物线开口向下，a0，结合a0，既有以“形”助“数”，也有以“数”解“形”；抛物线与y轴交于正半轴上，c>0，以“形”助“数”。故①错误。从①中就可以发现由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观，即“数”“形”互变。

对于②，b0，c>0考虑，不能判断，那么由“数”就要想到“形”了，只需做个简单的移项，即判断a-b+c>0正确与否，利用“形”可以发现：a-b+c是抛物线在x=-1时的函数值，对照草图，a-b+c

对于③，判断a+b>m（am+b）（m≠1的实数）是否正确，如果纯粹从“数”的角度考虑，似乎很难有结果，但如果两边同时加上c，即判断a+b+c>m（am+b）+c（m≠1的实数）是否正确，结合“形”，a+b+c即当x=1时的抛物线的函数值，即抛物线的最大值，而m（am+b）+c（m≠1的实数）是在抛物线任取一点（异于顶点）的函数值，显然成立。本小题体现了“数”“形”互变的较高境界。

数形结合是一个数学思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在初中数学教学中有意识地渗透数形结合的思想，同时给学生足够的时间与空间，学生定会给教师意想不到的精彩！

参考文献：

潘海燕，何晶.教师怎样进行反思与写案例和论文北京：中国轻工业出版社，2009-05.

（作者单位 江苏省苏州市太仓市明德初级中学）