析高考中数学归纳法与其它知识的完美结合

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【摘　要】纵观各省市的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、不等式、数列相联系，而且几何问题密切相关；数学归纳法在实际问题中有着广泛的应用，要求学生既要熟练运用相关概念，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解题速度。

【关键词】高考 数学归纳法 结合

数学归纳法是数学中一种证明与自然数n有关的数学命题的重要方法，是通过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个重要内容。

一、数学归纳法的基本原理

用数学归纳法证明一个命题时，必须包括下面两个步骤：

第一步：验证当n取第一个值（如n=1）时命题成立；

第二步：假设当n=k（k∈N）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

完成了这两个步骤，就可断定命题对一切自然数都成立。

这里的第一步称为奠基步骤，是命题论证的基础；第二步称为归纳步骤，是判断命题的正确性能否从特殊推广到一般的依据。这两个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而，论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤中的假设（简称归纳假设）就失去依据，从而使归纳步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上的，所以仍然不能断定原命题是否正确。

二、关于归纳步骤的证明思路

用数学归纳法证题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键，又在于合理应用归纳假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的。就中学教材而论，应用数学归纳法证明的命题大致有两种类型：

（1）能直接应用归纳假设来证明的。证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中是比较常见的。

（2）不能直接应用归纳假设来证明的。这类命题解题时，一般通过下面两种途径，为应用归纳假设创造条件：（1）先将n=k+1带入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而证到结论；（2）利用其它数学知识，建立P（k）（第k号命题）与P（k+1）（第k+1号命题）的联系，从而得到结论成立。对于这种类型题目在中学数学的学习中，特别是在高考大题中的出现概率是比较高的。

学生学会了数学归纳法，意味着既掌握了一种证明方法，可以解决很多以前他们解决不了的问题，又开拓了知识领域。但在利用数学归纳法证明的过程中，不仅会遇到各种技巧上的困难，而且即使学生具有应用数学归纳法的技巧，也常常不能真正理解它的含义。因此，数学归纳法是一个教学难点，在中学数学教学中应给予足够的重视。

三、证明不等式可应用数学归纳法

用数学归纳法证明不等式，在将f（k）过渡到f（k+1）时，为了利用归纳假设，在变形中常用替换法放大（或缩小）不等式。