《数学分析》教学中的若干反例

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摘 要: 本文研究了《数学分析》课程教学中若干命题,通过提供相应反例,揭示了命题的真实含义,这有助于学生更好地掌握《数学分析》这门课程中的相关概念、定理。

关键词: 《数学分析》 命题 反例

《数学分析》是数学科学学院各专业最重要的一门基础课程,也是学生感觉比较难的一门课,这里的难主要因为学生对数学分析思想和方法的不适应,课程中的概念抽象、定理证明繁杂。只靠死记硬背,一般学生无法准确掌握概念、定理的实质,必须从正反两方面去理解。举反例是构造法中的一种常见的方法,它体现了数学中的发现、化归、猜想等思想。通过举出一些命题的反例,我们可以更加深刻地理解这些命题的本质所在。

数学命题并非一定为真,要判定一个命题为真,必须通过严格的证明;而要判定一个命题为假,只需找出一个符合命题假设条件而结论不真的例子就可以了。构造反例不像作出证明那样有清晰可循的逻辑路径,常给人一种不可捉摸的感觉,它是一项积极的、创造性的思维活动,是一个探索发现的过程。从数学的发展史和平常数学教学的过程中,我们发现,构造反例和直接作出证明起着同样重要的作用。构造反例,有助于学生认识数学真理、强化数学基础、培养创新能力。参照文献[1―5],针对《数学分析》课程教学中若干似是而非的命题,我们给出反例,借此突出反例在《数学分析》课程教学中的重要作用。

1.有关无穷小量的命题

极限概念贯穿整个《数学分析》课程中。函数的连续性、可导性,定积分的概念,重积分、曲线积分、曲面积分的概念等均通过极限给出定义,而其中最基本的是一元函数极限的概念。

在一元函数求极限的教学中,特别是在有关极限四则运算的证明中,无穷小量的性质起着重要作用。其中有一条性质是:有限个无穷小的乘积还是无穷小。从函数极限的定义出发,大部分学生都能顺利自行完成该性质的理论证明。但随后问题出来了:为什么性质只针对有限个无穷小相乘?对无限个无穷小的乘积,是否仍为无穷小?一般学生肯定认为此性质对无限个无穷小相乘也成立,因为作乘积的无穷小越多,该乘积趋向于零的速度就越快。这种认识当然是错误的,下面我通过举例说明。

首先给出无穷乘积的概念。设{x},{x},…,{x}是可列个数列。对任意固定的n,令P=x・x・…・x,如果P存在,则称P=P(N=1,2,…)为{x},{x},…,{x}的无穷乘积。设当N∞时,x,x,…x都是无穷小量,如果x・x・…・x=P存在,则称P为无限个无穷小量的积。

设x=1,nn时,x=1,所以P=・・…・・…・1=。又=≥>1,故P=∞,从中可知无限个无穷小的乘积可以是无穷大。

通过以上的反例,我们得到一个结论:无限个无穷小的乘积不一定是无穷小。对大部分学生来讲,之所以会产生“无限个无穷小的乘积为无穷小”的直观想法,在于他们对有限个无穷小的乘积仍为无穷小的命题证明的本质理解不深。在针对有限个无穷小的乘积证明中,我们可以在有限个正数中取到最小(或最大)一个正数,而针对无限个正数,其正下确界(或上确界)我们无法保证它的存在。因此,上述反例的给出,可以进一步加深同学对函数极限的理解。

2.有关二元函数中值定理的命题

多元函数的学习是一元函数学习的进一步扩展和深化,它既有一元函数的一些性质,又与一元函数有着截然不同的地方。特别是在可微与偏导、偏导与连续、累次极限与重极限、累次积分与重积分、曲线与曲面积分等关系上有着诸多的难点。《数学分析》课程教学进行到多元函数阶段,学生常感学习吃力。在一元函数的教学中,微分中值定理起着重要作用,多元函数也有相应的中值定理:“设二元函数f在凸开域D?奂R上连续,在D的所有内点都可微,则对D内任意两点P(a,b),Q(a+h,b+k)∈intD,存在某θ(0

定理中要求D为凸开域。那么,倘若D是矩形区域,定理结论是否仍然成立?下面我们举例说明此时不能保证对矩形区域D上任意两点P、Q定理结论成立。

对函数f(x,y)=验证其在D=[-1,1]×[0,1]上中值定理是否成立。对于(-1,0),(1,0)∈D,令a=-1,b=0,取h=2,k=0,则a+h=1,b+k=0,

由中值定理得:f(1,0)-f(-1,0)=2f(2θ-1,0)=0

又f(x,y)=,(x+y≠0),2f(2θ-1,0)=0,须x=0

但是,==,因而=1,=-1

即f(x,y)在原点不存在。因此,虽然f在D内处处连续且可微,但它在原点的两个偏导数都不存在。故不存在θ,使f(2θ-1,0)=0,从而在点(0,0)中值公式不成立。

通过以上反例,我们得到结论:对矩形区域D上任意两点P、Q定理结论不成立。该反例说明,二元函数中,定理条件的重要性与多元函数在区域内部可微并不能保证它在边界上偏导的存在性。

综上所述,根据教学实践,我认为《数学分析》课程中有着太多似是而非的命题。学生若想很好地掌握课程中的相关概念、定理,必须从正反两方面出发,深挖概念、定理的实质,通过不断变更概念、定理的条件并提供相应反例,这将有助于自己更好地理解《数学分析》这门课程中的相关概念、定理,为以后进一步学习数学相关课程奠定坚实基础。

参考文献:

[1]汪林.实分析中的反例[M].高等教育出版社.1985.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,2004.

[3]宋国柱.分析中的基本定理和典型方法[M].科学出版社,2004.

[4]马昌威.浅析数学分析中反例的构造[J].阿坝师范高等专科学校学报,2002,(2).

[5]段龙伟,解红霞.谈谈《数学分析》教学中应用反例的几点体会[J].太原教育学院学报,2003,21,(2):33-34.

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