分类思想在等腰三角形中的应用
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设计理念
分类思想是数学思想方法中很重要的一种思想方法。它要求学生能把某个较为复杂的问题经过严谨周密的思考,确定一个分类标准,并按同一个标准把它分为若干类较为简单的情况。然后逐一讨论研究解决,使研究的结果不重复、不遗漏。而等腰三角形中由于边、角的特殊性,经常要用分类思想进行分类讨论解决。所以学生是否能用分类思想正确解决等腰三角形中的分类问题,也是中考考查的重要内容之一。
教学目标
1.进一步巩固对等腰三角形的认识,熟练运用等腰三角形知识解决问题。
2.认识分类思想在解决等腰三角形的问题中的重要性,并能学会分析,学会分类,培养分析能力和分类意识。
教学过程
师:前面我们学过了等腰三角形的有关知识,与一般三角形相比,它有很多特殊地方,谁来简单说明一下?
(学生纷纷举手)
生1:在对边和角的称呼上就不同,如边有腰底之分,角有顶角、底角之分。
生2:还有边与角之间关系的转换,如等边对等角、等角对等边、“三线合一”等。
师:很好。为了进一步认识和研究它,我想请一名同学在黑板上画一个等腰三角形。
(其中一名学生自告奋勇到讲台上,画了一个顶角为锐角的等腰三角形。)
师:请其他同学想一想,还有什么要补充的吗?
生3:他画的不全面。我们所碰到的等腰三角形其实还应该有等腰直角三角形和顶角为钝角的等腰三角形。
师:等腰三角形中第一种分类的情形就像刚才在没有图形的前提下让你画等腰三角形,你应该按顶角的情况来分析,这就是分类的标准。下面请思考这一道题。
(题目:你能经过等腰三角形一个顶点画一条直线,把这个等腰三角形分成两个小的等腰三角形吗?如果你觉得能,请画出图形,并标好度数。)
(学生思考,讨论,并开始在草稿纸上画图,分析。几个学生举手。)
生4:老师,根据您刚才的讲法,我认为本题应该有三种可能。一种是把顶角为锐角的等腰三角形进行分割;第二种是把顶角为直角的等腰三角形分割;还有一种是把顶角为钝角的等腰三角形进行分割。
(师表扬了他。并请这位学生上黑板画图。)
师:你能说出你标的度数的依据吗?
生4:我是这样想的(如图1):设∠A=x,那么由图和题意可知x+2x+2x=180°,解得x=36°。这是第一种。
至于第二种应该包含在第三种里,若BD=AD=DC,设∠B=x。由题可知x+x+2x=180°,解得x=45°,此即为第二种。若AD=BD,CD=AC时,设∠B=x,则x+3x+x=180°,解得x=36°,即为第三种情形。
师:这位同学真是肯动脑筋,分析得相当透彻、清楚,只是还有不同意见或补充的吗?
(同学们认真思考,但没有人能回答出。)
师:其实在第一种情形时他应考虑全面,刚才这位同学想到的是AD=BD,BD=BC的情形,有没有AD=BD=CD的情况呢?
生5:没有。这样∠C=∠DBC=∠ABC是不可能的。
师:那有没有可能AD=BD或CD=BC呢?请看图4:
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则可得:x+3x+3x=180。
7x=180。
x=180/7。
若能解得出x,则说明这种情形可能吗?
生6:可能。
师:那么请你小结刚才这道题目的种种可能,并理解这种分类解题的依据。(学生自我理解小结,老师黑板上板书等腰三角形中第一种可能分类的问题和分类的标准。)
师:哪位同学还能列举出等腰三角形其他的可能分类的问题?
生7:有这样一种问题要分类,如:等腰三角形中已知两边,求周长的时候要考虑两边为腰还是为底的可能。
(老师表扬并板书等腰三角形可能分类的问题和按边分的分类标准。)
生8:还有的时候,如:等腰三角形中已知一个角为50°,求另外两个角,这也要分类讨论。因为50°的角可能为底角也可能为顶角。
(老师板书等腰三角形中的第三种可能分类的问题和按角分的分类标准。)
师:还有吗?
生9:老师,你看这几个题型属不属于刚才碰到的分类情形?有这样一题说:等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°,求顶角的度数。还有比如说等腰三角形一个角是另一个角的两倍,求底角的度数。
师:同学们考虑考虑,讨论一下,帮助他解决这个问题。
(学生开始思考,讨论,一学生举手。)
生10:我认为均属于刚才的第一种情形,图形不清楚,则要按顶角的可能性分析。
(其他学生纷纷赞同,并很快求出两题的答案。)
师:现在我给大家看一题你们看看该怎么思考?
已知平面直角坐标系中A(4,0),B(0,3),在x轴上找一点C使三角形ABC为等腰三角形,请写出点C的坐标。(如图5)
师:图形不具体,但又与第一种情形有些区别,在这种情况下点A点B点C都有可能成为等腰三角形顶角的顶点,请大家课后认真思考,并整理笔记,小结好等腰三角形中可能几种的分类情况。
过程反思:这是一节对学生思维能力要求较高的一课,同时要求学生有很好的前期知识储备,掌握和熟练知识运用能力。在授课的过程中,发现时间还稍微仓促,但对学生的思维锻炼,知识的提炼归纳和运用数学思想解决问题的这些能力的培养是大有帮助的。
作者单位:
江苏省常州市武进区奔牛初级中学
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