例谈数列中常见易错易混易忘知识点

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“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合几个具体例子谈一下数列中常见易错、易混、易忘的知识点，这些知识点也是高考中的热点和重点，通过对几个例题进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让我们明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮助我们识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的.

【易错点1】利用求通项时忽视条件致误

例1若数列的前项和为，且，则是等差数列吗？如果是，求出通项公式；如果不是，说明理由．

【易错点分析】此题在应用与的关系时误认为对于任意值都成立，忽略了对的情况的验证。易得出数列为等差数列的错误结论。

【思维分析】本题应明确的成立条件是，而数列的通项公式中的应当包含第一项，所以时是否满足所求通项应进行验证．

故由等差数列的概念知，数列不是等差数列．

【练1】（全国理）已知数列满足：则数列的通项为 .

答案：（将条件右端视为数列的前项和利用公式法解答即可）

【易错点2】利用函数知识求数列的最大项及前项和最大值时易忽略其定义域是正整数集或其子集（从1开始）

求数列中的最大项．

【易错点分析】该数列的第项是关于的二次函数，可将问题转化为求解关于的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。

【思维分析】本题应明确数列中的项数应为正整数的条件．

解析：由已知，得．

由于，故当取距离最近的正整数7时，取得最大值105．

数列中的最大项为．

【知识点归类点拔】数列的通项公式及前项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前项和公式是关于的二次函数且没有常数项，反之满足形如所对应的数列也必然是等差数列的前项和。

【练2】（全国高考题）设是等差数列，是前项和，且，，则下列结论错误的是（ ）

A、B、C、 D、和均为的最大值。

答案：C（提示利用二次函数的对称轴再结合单调性解答）

【易错点3】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐.

例3、已知关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，求的值。

【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。

解析：不妨设是方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程的另一根是此等差数列的第四项，而方程的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为故，从而.

【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，求解这类问题时充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果.

【练3】方程的四个实数根组成一个首项为的等比数列，则=

答案：.（提示应用两根之积相等这一条件，结合等比数列的性质明确等比数列中项的排列顺序。）

.【易错点4】不能根据数列通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。

例4、求…．

【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。

解析：由等差数列的前项和公式得，

【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果具备这些特点，就运用裂项法。同时要明确消项的规律，一般情况下剩余项是前后对称的。

【练4】（济南统考）求和＋＋＋…＋．

答案：…＝．