平面直角坐标系考点聚焦

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有关平面直角坐标系的问题，是历年中考的一个热点. 处理这类试题，应根据要求，利用点的坐标的特点，发挥平面直角坐标系的优势.下面对2012年有关平面直角坐标系的试题归类解析如下，供同学们参考.

一、 确定象限

例1 （山东菏泽卷）点（-2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

解析 因为横坐标为-2，这样的点在二、三象限，纵坐标为1，这样的点在一、二象限，所以（-2，1）在第二象限. 故选B.

点评 要判定点在哪个象限，先要掌握四个象限坐标的特点，第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）.

二、 求对称点的坐标

例2 （四川成都卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（ ）

A. （-3，-5） B. （3，5）

C. （3，-5） D. （5，-3）

解析 点P（-3，5）在第二象限，其关于y轴的对称点在第一象限，且纵坐标不变，横坐标相反. 故选B.

点评 一个点与它关于y轴的对称点之间的关系是：横坐标相反，纵坐标相同. 一个点与它关于x轴的对称点之间的关系是：横坐标相同，纵坐标相反.

三、 求平移点的坐标

例3 （山东东营卷）将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（ ）

A. （2，3） B. （2，-1） C. （4，1） D. （0，1）

解析 向左平移2个单位，则横坐标减小2个单位，即平移后点A′的坐标为（0，1）. 故选D.

点评 此题在坐标系中考查平移的性质，注意平移后，图形上的每一点都沿相同的方向移动了相等的距离.

四、 图形在坐标系里的平移

例4 （浙江绍兴卷）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的？荀ABCD，点A的坐标是（0，2）. 现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，-1）处，则此平移可以是（ ）

A. 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位

B. 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位

C. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位

D. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

解析 根据平移的性质，结合已知点A、A′的坐标，知点A的横坐标加上了5，纵坐标减小了3，所以A点的平移方法是：先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，即可得到答案. 故选B.

点评 此题主要考查点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律：左右移，纵不变，横减加；上下移，横不变，纵加减.

五、 坐标的新定义

例5 （北京卷）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记AOB内部（不包括边界）的整点个数为m. 当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）.

解析 当B点的横坐标为3或者4时，如下图所示，只有3个整点.

当n=1时，即B点的横坐标为4，如上图，此时有3个整点.

当n=2时，即B点的横坐标为8，如左下图，此时有9个整点.

当n=3时，即B点的横坐标为12，如右下图，此时有15个整点.

根据上面的规律，即可得出3，9，15， 则m=6n-3.

故答案为：3或4，6n-3.

点评 本题考查利用已给的坐标系，多次分情况讨论整点问题，并从中寻找规律.

六、 求图形的面积

例6 （四川达州卷）将边长分别为1、2、3、4…19、20的正方形置于直角坐标系的第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 .

解析 如图可知，组成拐角形阴影部分的是边长为1与2、3与4、5与6…19与20共10个拐角形，其面积分别为：22-12，42-32，62-52…202-192，因此其和为：2+1+4+3+6+5+…+20+19=210. 故填210.

点评 本题将正方形组合于直角坐标系中，考查学生对数学问题的分析及探究能力，对规律的寻找及计算技巧的运用的要求设计到位，难度适中.

七、 规律探究

例7 （山东泰安卷）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0）（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为 .

解析 根据图形，以最外的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方.

例如：右下角的点的横坐标为1时，共有1个，1=12；

右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22；

右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32；

右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42；

……

右下角的点的横坐标为n时，共有n2个.

452=2025， 45是奇数，

第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45. 故答案为：45.

点评 本题为规律探索题，考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键.