当通解遭遇巧解
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波利亚在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。”他还有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题。”重视解题教学、擅于变式训练是中国数学教育的一个特色，再加上高考的要求，解题教学显得尤为重要。所以，在书店的货架上摆满了所谓的“千题巧解”“数学解题方法”等书籍。既然要研究解题，那么到底怎样的方法才是最好的方法呢？本文举例说明通解与巧解的关系。
例1：（2009辽宁）若x满足2x+2=5，x满足2x+2log（x-1）=5，则x+x=（）。
（A） （B）3 （C） （D）4
解法一：由题意2x+2=5①
2x+2log（x-1）=5②
由①有2=5-2x，则x=log（5-2x），即2x=2log（5-2x）
令2x=7-2t，代入上式得
7-2t=2log（2t-2）=2+2log（2t-2）=2+2log（t-1）
5-2t=2log（t-1）
与②式比较得t=x
于是2x=7-2x，x+x=
解法二：（数形结合）
整理2x+2=5和2x+2log（x-1）=5，可得
2=-x+和log（x-1）=-x+
因此可知本题的几何意义是直线y=-x+与y=2、y=log（x-1）的交点A、B的横坐标之和，又y=2和y=log（x-1）关于y=x-1对称，联立y=x-1和y=-x+，解得AB中点的横坐标为，故x+x=。
【分析】法一通过对第一个等式结构的分析，借助指对的互化关系，将其变换到和第二个等式相同的形式，再通过换元，直接找到了x和x的关系。推导过程符合人们的一般思维，但是要求对指对的运算非常熟悉，对运算能力的要求比较高。法二则是把方程的解转化为函数图像交点的横坐标，把抽象的数转化为直观的形来处理，充分体现了数形结合的魅力。“以数觅形，以形助数”通常能使问题的解决更直观、更简捷，高考题中的一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如果能够通过构造与之相应的图形进行分析，往往事半功倍。
例2：（2008年重庆）函数y=（0≤x≤2π）的值域是（）。
（A）［-，0］（B）［-1，0］
（C）［-，0］（D）［-，0］
解法一：万能代换
令t=tan，则sinx=，cosx=
原命题转化为求h（t）=（t∈R）的值域。
整理化简，有
h（t）==
==
当t=1时，h（t）=0，此时x=；
当t≠1时，h（t）=
4（）+1=4（1+）+1∈［1，+∞）
h（t）∈（0，1］，当且仅当t=0时，h（t）=1，此时x=0或2π。
解法二：利用单调性
因为g（x）=（0≤x≤2π），则
g′（x）
=
=
令g′（x）=0，则x=0，，2π
易知，当x∈［0，］时，g′（x）＞0，即g（x）单调递增；
当x∈［，2π］时，g′（x）＜0，即g（x）单调递减。
所以，当x=时，g（x）=0；当x=0或2π时g（x）=1。
解法三：向量法
f（x）=
=
令sinx-1=s，1-cosx=t，
则（s+1）+（t-1）=1
设A（1，0），B（sinx-1，1-cosx），则f（x）就是向量与向量所成夹角θ的余弦值（见图1），即f（x）=cosθ。由图可知，向量与夹角θ的取值范围是［，π］，由此可得-1≤cosθ≤0，即-1≤f（x）≤0，故应选B。
【分析】这是一道与三角函数相关的函数值域问题，法一用三角函数的万能代换，代换后虽然达到了消元的目的，但是升高了次数，增大了计算量；法二利用函数的单调性，想法很简单，但是对一复杂的三角分式求导却是一个难点，计算量也是不小的；法三则用向量，将复杂的代数式子用形的方式表现出来，计算简单了许多。向量法现在越来越多地被应用在解题中，不管是三角函数中还是在立体几何中。其实，通解和巧解是相对的，正所谓“用过两遍的技巧，就是方法”。
例4：AB为不垂直于抛物线y=2px（p＞0）对称轴的过焦点的弦。求证：对于抛物线任一条弦CD，直线AB不可能是它的垂直平分线。
证法一：设弦CD被焦点弦AB垂直平分，若AB方程为y=k（x-），则CD方程为y=-x+b，联立解得AB与CD交点的纵坐标为y=，
再由方程组y=2pxy=-x+b?圯y+2pky-2pkb=0（）?圯y=-kp
故=-kp?圯b=
而此时（*）式的判别式Δ=4pk+8pkb=-4pk-4p＜0
这与CD是抛物线的弦矛盾，可知假设是错误的，命题成立。
证法二：（反证法）设弦CD被焦点弦AB垂直平分，若C（x，y），D（x，y），则|CF|=x+，|DF|=x+，故必有x=x，但这是不可能的。所以，AB不可能是CD的垂直平分线。
【分析】法一中第一次解二元一次方程组求两直线交点坐标，第二次解抛物线与直线联立的方程组，用“Δ”来判断交点是否存在，这种方法的计算量虽大一些，但由于规律容易掌握，因此，它是解这类问题的常规方法。法二则是计算与分析的综合，想法独到，证法巧妙，但要有此想法需要深厚的基础知识，以及灵活的分析问题的能力。在处理解析几何相关问题时，学生往往会觉得计算量大，没耐心，殊不知，只要运用一些技巧，诸如几何性质、定义等，就可起到简化计算的作用，此谓巧解也。
其实只要细心研究每年高考数学试题中的每道题目的解法，就不难发现，高考试题所考查的解题方法都在通法的范围内（但也不排除利用“巧法”来解答的好的解题方法）。通法的思想顺乎一般思维规律，其具体操作过程易于为多数学生所掌握。他们觉得通法自然、流畅、易于理解、易于掌握和运用，其思维方式本质上是定势思维，而培养定势思维是教学中起始的、大量的、带有基础性的教学目标。巧法则是通法的升华，“在反复考虑一个问题之后，我们突然得到一个巧妙的想法，好像掠过一道灵感，看到了灿烂的阳光”。这大概就是它的魅力所在。日本教育家米山国藏认为：“成功的数学教学，应当是数学精神，思想方法深深地、永远地、铭刻在学生的头脑里，长久地活跃于他们日常的业务中，虽然那时数学的知识已经淡忘了。”所以我们在教学中需要强调的是：为了在最后的高考中取得好的成绩，不管是现在高三的学生还是高一、高二的学生，在日常学习中一定要注意掌握解决各类数学题的通法，在头脑中形成有关解题通法的体系。同时要注意通法的局限性（主要是指使用范围）和隐蔽性（注意是指题目结构的隐蔽性），也要注意适度地掌握一些“特技”。更应从通法的回顾和反思中，去自然地发现和提炼“巧法”。这样既可进行思维铺垫，创设思维情境，暴露思维过程，培养思维能力，又可揭开“巧法”背后的神秘面纱。教师“通”、“巧”并举，有机结合，不仅有利于学生从大量繁琐的运算中解脱出来，而且有利于揭示通法和巧法的辩证关系，从而进一步优化学生的思维品质，培养学生的求简意识和创新能力。
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