计算教学要谨防例题教学“习题化”

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编者按：计算教学在小学数学教学中占有重要的地位，同时也是教学的重难点，许多教师已经对此从各个角度进行了探讨。本刊特选取一组文章，从计算教学的例题教学作为切入口展开探讨，可供大家参考。

新课程改革以来，审视平时的教学研究与课堂改革，无论是教材编排还是教师教学，都更加注重培养学生运用数学规律、数学原理解决实际问题的能力，对学生计算能力的培养与训练趋于弱化。学生的计算习惯、计算意识、计算兴趣以及计算能力等“算术”素养明显下降，从而导致了学生对数学学科认识的肤浅空泛以及计算教学效率的日益低下。这些问题主要表现为一线教师在计算教学中，只关注算法的传授与操作，不注重算理的探索与理解，忽视了对算法意义的建构，使学生只知道“算”、不知道“理”，只知道机械模仿、不知道探索发现，继而导致学生在计算领域的学习始终置身于“计算器”的身份，缺乏对计算算理与计算方法关系的探索。笔者以为，导致这一现象的发生，是一线教师在计算教学时例题教学“习题化”了，强化了对算法的掌握，弱化了对算理的追问，从而使计算教学趋于简单化与肤浅化，抑制了学生数学思维与计算技能的发展与提升。

一、关注数学操作，感知算理，形成算法

动手实践是学生学习数学的重要方式之一。教师在引导学生进行数学操作时，不仅要关注学生操作的结果，更要关注学生操作的过程，使学生逐步从无意操作走向有意操作，让整个动手操作过程充盈数学思考、伴随数学方法、共生数学有效。

应该说小学一年级学生在刚刚接触到数的时候，学具小棒的出现使学生由数的认识逐渐走向数的运算，从此学生对数的研究发生了质的转变。可是，多年来综观小学低年级数学老师的教学，只是把小棒当作帮助学生获得计算结果的“计算器”，并没有使小棒发挥应有的数学功能。即教师在引导学生用小棒进行操作时，只是利用小棒帮助学生算出结果，并没有引导学生在用小棒操作时，去探索计算的道理，体会计算的方法。

例如，教学一年级下册“两位数加一位数”口算时，为了使学生都能自主算出24+6的得数，一线教师都会想到利用小棒让学生进行计算操作，学生均能很快得出24+6=30。然后教师引导学生进行交流：你是怎样算的？课堂上只要学生说出把单根的先加起来、再和整捆的合起来之类的想法，教师就给予充分的肯定。与此同时，教师即认为此例题教学目标已达成，学生学习两位数加一位数的计算方法也已掌握并理解。因此，从这个操作层面来考量，教师只是把小棒当作帮助学生得出24+6计算结果的工具，把用小棒操作的过程只看成是帮助学生获得24+6计算结果的过程。这样的教学仍然停留在只重计算方法而忽略计算算理的层面上，只关注怎么算，而不关注为什么这样算。从而就使例题教学走上“习题化”的道路。

在听课过程中，笔者留心观察部分学生操作时的“言行举止”。一旦学生按照教师的要求在桌面上把“24”和“6”用小棒摆好后，学生就立即动手数起来。数什么？都是在数桌面上所有单根的根数。从这一动作细节足可以说明：学生已把用小棒操作的过程与24+6这个算式割裂开来，并没有关注24+6是怎样算的。因为课堂上很少发现学生是在24根中的4根单根的基础上或6根单根的基础上接着数下去，更看不到学生借助小棒和已有口算经验在计算4根小棒加6根小棒是10根小棒的现象，都是把桌面上所有的单根的小棒一根一根数出“10”来。因此，在要求学生进行操作时，一定要引导学生在操作中感知计算的道理、探索计算的方法，在理解算理的基础上自然形成算法。可让学生在动手操作时进行如下思考：

（1）24+6是表示把多少根的小棒和多少根的小棒合起来？在学生回答的基础上教师相机课件出示：这样竖起来呈现小棒能够有效避免学生一根一根数出10根小棒的现象，也为后续的竖式计算的学习打下基础、建立雏形。（2）从摆出的这个小棒图，你能看出这个小棒图里隐藏了哪些数？引导学生发现“2、4、6”这些数，并结合小棒图让学生说出每个数的含义。这样就使学生的操作始终围绕24+6这道算式来思考。把“数”与“形”紧密结合在一起，让学生在“数”中摆出“形”，在“形”中抽象出“数”。（3）在学生理解24+6算式中每个数含义的基础上，即初步感知各个数位上的数所表示不同含义的基础上追问：你是怎么算的？先算什么？因为学生所摆出的小棒图中，最直观显示出了三个数：2（捆）、4（根）、6（根）。所以在学生回答时，教师相机追问：4能和2相加吗？6能和2相加吗？（4）在学生回答的基础上，教师继续追问：24+6的得数个位上的数是4吗？是6吗？十位上的数是2吗？如此追问再次激发学生感知得数个位与十位上的数与两个加数个位与十位上的数之间的联系。

只有让学生在操作中经历了这样的数学思考，学生才会真正感知两位数加一位数的计算算理，探索其计算方法，继而在理解算理的基础上自然形成算法。这样的动手操作才是有效的甚至高效的，这样的计算教学也才能使例题教学发挥示范、引领、启迪的教学作用，避免走上“习题化”教学之路。

二、关注数学应用，体验算理，生成算法

数学知识只有和生活应用结合起来，才能体现其应用性，彰显其价值及意义。而数学规律、法则也只有在生活中应用，才能解释其数学原理与数学现象。因而计算教学亦应让学生在具体数学应用中，去体验算理，促进算法自然建构与生成。因为学生只有在运用已有知识经验去解决生活问题时，才可能找寻生活原型并建构数学模型，继而在经历计算知识自然生成的过程中，逐步体验、理解计算方法的道理，由此促进学生对算法的建构与掌握。

例如，在教学四年级上册“混合运算”时，如果脱离具体生活情境，抛开数学应用，教师无法解释乘加、乘减混合运算的计算顺序问题，继而也无法得到正确的计算结果。如5×3+20或20+5×3，正确的答案是多少？按照先乘后加还是先加后乘的顺序进行计算，相对于小学生来说是无法考量的。除非教师在课堂上硬性告诉学生“先乘后加”，如果这样，学生也只是在教师规定的机械练习下掌握此类混合运算的计算方法，而对如此计算的算理学生却一概不知，即为什么要先乘后加呢？这样算的道理是什么呢？因而课堂教学要从学生视角出发，从数学知识的科学性、联系性和应用性的特点出发设计教学，让学生学得信服，学得舒心。这就需要一线教师在设计教学时，要让数学知识回归生活、回归应用。在生活中生成知识，在应用中发现规律，在体验中建构算法。

因为本节课的教学目标要求学生认识混合运算，掌握乘加、乘减的运算顺序，并会用递等式进行计算，因而教师不能简单地把例题作为一道用综合算式解答的习题来教学。当例题情境出示后，应让学生经历如下学习过程：（1）小军买了3本笔记本和1个书包，一共用去多少元？你会算吗？学生根据自己的已有知识经验很快列出5×3=15（元），15+20=35（元）。（2）你能说说每一步计算的现实含义吗？教师结合学生的回答，相机将课件分步动态演示。

（3）通过刚才的观察演示，你想说什么？课堂上学生都能够说出：3本笔记本的总价钱没有直接给出，所以要先算出3张5元的总价钱，然后才好直接用15元加一个书包的20元钱。（4）你能用一个算式表示一下这幅图的含义吗？学生很快列出5×3+20的综合算式，继而教师追问：为了使每一步的计算顺序及过程看得更加清楚，你认为这个综合算式在计算时可以怎样书写？通过课件演示，学生感受到这样的呈现形式不仅可以计算出最后的结果，也能直观地呈现出每一步的计算过程与运算顺序。这样就使学生直观体验了计算算理，递等式计算的书写形式在学生头脑中也建立了模型，突显了用递等式计算的必要。计算教学只有引导学生经历如此的实际应用体验，混合运算的教学才会实现从算理的意义建构到算法的自然生成，学生也才会体验到混合运算的算法是基于其算理的基础上得以自然生长的。

三、关注数学表达，经历算理，构成算法

由于新教材的编排内容和编排结构作了较大调整，使原有的有关“数量关系”的题型如“文字题”与“应用题”不再独立编排，而是渗透到各个计算教学板块中。这样编排使部分一线教师由于对新教材理解不深，研读肤浅，导致对于引导学生进行应有数量关系的分析与理解有所弱化甚至缺失，使学生分析数量关系的意识以及用自己的语言表达数量关系的能力逐步丧失，抑制了学生数学表达和数学思维能力的提升。

因此，在平时的教学实践中，教师要善于抓住例题的特点，引导学生观察数学信息，并借助例题主题图情境鼓励学生用自己的语言表达算式的现实意义和算式本身的“算术”含义，促进学生在表述数量关系的过程中经历算理，并使已有计算方法得到有效迁移，继而构成新的算法。

例如，在教学六年级上册“分数连乘”时，一线教师认为这部分内容对于六年级学生来说并不难，因为学生是在学习分数乘法的基础上紧接着学习这部分知识的。于是在课堂上出示例题情境后，就机械地套用教材中的方法，直接根据题意让学生思考：要求三班做了多少朵，要先算什么？学生很快列出算式：135×=120（朵），求出二班做的朵数，继而用120×=90（朵），求出三班做的朵数。然后要求学生把两道分步计算合并成一个综合算式。这样，分数的连乘教学就已完成。这是明显地把例题教学当作习题进行解答，是典型的例题教学“习题化”，根本不关注学生的已有经验和认知特点，不关注例题教学的示范、引领及启迪功能，只关注怎样算，而不关注为什么这样算。把学生当作机械接受数学方法的机器，忽略学生是一个主观能动有思想、有思维的生命个体。

因此，看似简单的分数连乘，教师还是有必要引导学生在数学表达中探索算法、经历算理，引领学生在理解算理的基础上，不断迁移数学思想方法，逐步构成算法。可以从以下几个方面进行探索：（1）求一个数的几分之几是多少，你是怎么想的？（2）题中求三班做了多少朵，也就是求什么？课堂上由于有了第一个问题的铺垫，学生很快就想到：也就是求二班的是多少。教师在肯定学生的回答后故作不满足，继续追问：是啊，可是二班做的朵数也不知道，也就是求什么？在教师的不断追问与鼓励之下，学生终于用自己的语言表达出：也就是求一班的的是多少。（3）一班的的是多少？你会用一个算式来表示吗？（4）观察算式：135××。谁能说一说，这个连乘算式可以直接看成求什么？课堂上学生说出了以下多种“算术”含义：135的的是多少？135的的是多少？ 的135倍的是多少？的135倍的是多少？的的135倍是多少？的的135倍是多少？课堂上学生经历如此的数学表达，不仅对于分数连乘的现实含义与算术含义得到充分理解，也使学生体会到分数连乘时，相乘因数的分子与分母可以互相约分的道理。只有这样，在数学表达中引导学生抽象连乘的计算算理，学生才会迁移计算中的已有方法，使分数连乘的计算方法得以逐步构成并为学生掌握。

四、关注数学尝试，探索算理，达成算法

在整个小学阶段，有些数学知识、数学现象抑或数学规律、数学原理等，是不可能或不可以都能够在小学生面前得到论证或证明的。于是一线教师在课堂上就直接采取告知的方式，让学生直面方法，并通过机械重复的训练，使学生牢牢地掌握方法，并认为教学目标已高效达成。但笔者以为，即便在小学教材中有很多数学知识不能引导学生直接通过想象、推理等方法证明得到，也不能强行灌输给学生，应引导学生经历探索、发现、感悟的过程，让学生从特殊中探寻普遍，从个性中寻找共性，继而发现数学现象中所隐藏的数学本质规律，以便使学生体验到虽然不能享受经过数学证明所带来的快乐与成功，却仍可以经历数学观察、数学尝试和数学感悟所带来的“心悦诚服”。

例如，在教学六年级上册“分数除法”时，一线教师一般在课堂上总是“走过场”式地引导学生画图分一分，让学生从图中直接得出结果，然后就出示诸如m÷=m×（ ） 的模式，让学生进行观察填空，继而就迫不及待地带领学生进行小结并得出分数除法的计算法则。殊不知，教师还是走上了例题教学“习题化”的道路。这样的教学，虽然学生都能通过相应的练习很快掌握分数除法的计算方法，可是学生可能会一辈子都不知道或不理解为什么除以一个数等于乘它的倒数。笔者也曾经调查过一线教师，问他们为什么除以一个数等于乘它的倒数，居然没有一个教师能说出一个所以然来，并且还得出一个统一的理由：反正就是这样算的，一代代的教师就是这么教过来的。这足以说明教师自身都只重视算法，而不关注算法形成过程中如此计算的道理，即算理。

诚然，关于分数除法的计算方法确实不能运用学生的已有知识经验通过数学证明让学生彻悟，但可以让学生通过各自不同方法的猜测、观察、推理等数学尝试，让学生体验到“除以一个数等于乘它的倒数”这一数学道理。学生只有经历自己的尝试、同伴的启迪、教师的点拨，才会在一次次尝试感触中逐步感受到分数除法的计算算理，继而才会在心灵深处坚信“除以一个数等于乘它的倒数”这一数学方法。

笔者在教学时，让学生经历了如下几个环节的尝试探索：（1）请你选择其中一道题用自己的已有知识经验去想办法得出它的结果。①÷2，÷3，÷4；②4÷ ，4÷ ，4÷ ；③4÷ ，4÷，4÷。（2）把你得出的结果与小组内其他成员进行交流，并比较各自的不同方法。（3）通过你们的尝试探索，分数除法可以怎样直接计算？

集体交流时，学生对于①类题，主要有两种不同的思路：一种是通过画图平均分来表示（÷3画图的学生较少）。学生根据画图所得到的结果去猜测，发现用×、×、×正好和他们画图所得到的结果吻合。另一种是根据除法的含义来说明：除以2、除以3、除以4表示平均分成2份、3份、4份，其中的一份是多少，继而得出这一组题也就表示求的、、分别是多少。这样学生就很容易发现÷2=×，÷3=×，÷4=×。

对于②类题，大部分学生都通过画图得出，这样很容易得出1里面有2个，1里面有3个，1里面有4个。这样学生就可以推理得出4里面有4×2个、4×3个、4×4个，继而发现4÷ =4×2，4÷ =4×3，4÷ =4×4。

学生对于③类题普遍感到有困难，只有较少数学生通过画图得出结果，但是交流时正因为有了较少数优等生的启迪，使全体学生都明白了“4”不能直接通过画图平均分找到里面有几个、、。必须先把“4”平均分成12份、20份、28份。此时教师点拨：你是怎么发现要把“4”平均分成12份、20份、28份的呢？学生很快就发现只要用4乘它们的分母3、5、7就行了。然后引导学生思考：平均分成12份、20份、28份后可以怎样想？学生此时终于发现只要想12份、20份、28份里面分别有多少个“2”，继而就可得到4×3÷2、4×5÷2、4×7÷2的计算方法，最终可以发现4÷ =4×、4÷ =4×、4÷ =4×。

学生经历了这一番观察、讨论、比较等尝试探索后，终于信服并坚信“除以一个数等于乘它的倒数”的计算道理。课堂上学生情不自禁地高声欢呼并一致达成：除以一个数就可以直接乘这个数的倒数。因此，只有让学生经历了分数除法计算算理的探索过程，他们对分数除法的计算方法才会切身体验、自然达成。

综上所述，计算教学既要重视算法的建构，更要关注学生对算理的理解。这就需要教师在设计计算教学时，一定要谨防例题教学“习题化”，这样学生才能经历计算算理的演绎过程，对算法才能记忆深刻、理解深入。

（江苏省扬州市江都区仙女镇中心小学 225200）