“新定义”试题

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以“新定义”为背景设置的试题是中考培养学生自主学习能力、阅读理解能力、迁移和创新能力的基本题型之一，已成为近几年中考的热点和焦点.此类试题立足基础，不受常规题型的束缚，源于教材又高于教材，是书本知识的拓宽和延伸，能较好地考查学生综合分析问题、解决问题的能力，充分体现了“由知识立意向能力立意转变”的中考命题思想.纵观近几年中考试题中，越来越多的“新定义”试题出现在压轴题中，现选取2013年部分此类压轴试题，通过对其进行分析归类、归纳总结，试图达到洞察其变化规律、明晰其命题套路、寻找其解题方法之目的.

1 新定义“点”

例1 （北京市）对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为C 的关联点.已知点D（12，12），E（0，-2），F（23，0）.

（1）当O的半径为1时，①在点D，E，F中，O的关联点是 ；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.

分析 （1）①需数形结合，画出O，找到点D、E、F，则点D在O内，点E、F在O外，根据“关联点”的定义，易知点D为O的关联点.至于点E、F，可分别作O的两条切线，得到∠AEB或∠AFB，再借助切线的性质来判断∠AEB或∠AFB与60°的大小关系即可.

②直线l与O相离，直线外的点如果作圆的切线，此时切点与点P及圆心O组成的角小于30°，故不可能是关联点.而相切如果正好是30°，则意味着点到圆心的距离等于2.所以有m2+（-33m+2）2=4，解得m=0或3.因此点到圆心的距离小于2的均可以是关联点.

（2）根据题意可知，由点E或点F所作O的两条切线得到的∠AEB或∠AFB均需等于60°，因为OE=2，OF=23，则EF=4，故只要取EF的中点为圆心，1为半径作圆，则线段EF上的所有点都是该圆的关联点，此时为最小圆，当半径大于1时，也同样满足.

简解 （1）①D、E；②0≤m≤3.

（2）以线段EF的中点为圆心作圆，其半径r的取值范围是r≥1.

评析 本题以平面直角坐标系为背景，给出了“关联点”的新定义，背景公平、材料新颖，但并不神秘，表面上看是没有见过的陌生问题，但只要理解了何谓“关联点”，并紧扣新定义，将新定义作为解题的依据，就可以将其转化为我们熟悉的数学问题，把握问题解决的关键点.本题着重考查了学生的阅读理解能力和面对新定义自主解决问题能力，寓数形结合、方程思想、特殊化的方式找临界值等数学思想方法于其中，立足于基础知识的运用，其中涉及知识点有“关联点”定义、直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的性质、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半等.