专题六 立体几何与空间向量(6)

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一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 设向量[a，b，c]不共面，则下列集合可作为空间一个基底的是（ ）

A. [a+b，b-a，a] B. [a+b，b-a，b]

C. [a+b，b-a，c] D. [a+b+c，a+b，c]

2. 设[l]是一条直线，[α，β，γ]是三个不同的平面，则下列命题中假命题是（ ）

A. 如果[αβ]，那么[α]内一定存在直线平行于[β]

B. 如果[α]不垂直于[β]，那么[α]内一定不存在直线垂直于[β]

C. 如果[αγ]，[βγ]，[α?β=l]，那么[lγ]

D. 如果[αβ]，[l]与[α]，[β]都相交，那么[l]与[α]，[β]所成的角互余

3. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为（ ）

[正视图][侧视图][俯视图]

A. [3π6] B. [3π3]

C. [3π2] D. [3π]

4. 在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，侧棱垂直于底面，[∠ACB=90°]，[∠BAC=30°]，[BC=1]，且三棱柱[ABC-A1B1C1]的体积为3，则三棱柱[ABC-A1B1C1]的外接球的表面积为（ ）

A. [16π] B. [12π] C. [8π] D. [4π]

5. 已知结论：“在正三角形[ABC]中，若[D]是边[BC]的中点，[G]是三角形[ABC]的重心，则[AGGD=2]”. 若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体[ABCD]中，若[ΔBCD]的中心为[M]，四面体内部一点[O]到四面体各面的距离都相等”，则[AOOM=]（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[BB1]与平面[ACD1]所成角的余弦值为（ ）

A. [33] B. [63] C. [23] D. [23]

[ ]7. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）

[A B C D]

8. 已知正方形[ABCD]的边长是4，对角线[AC]与[BD]交于点[O]，将[ΔABD]沿对角线[BD]折成[60°]的二面角，并给出下面结论：①[ACBD]；②[ADCO]；③[ΔAOC]为正三角形；④[cos∠ADC=34]. 则其中的真命题是（ ）

A. ①③④ B. ①②④

C. ②③④ D. ①②③

9. 如图，正四棱 [ ]柱[ABCD-A1B1C1D1]中，[AA1=2]，[AB=BC=1]，动点[P，Q]分别在线段[C1D，AC]上，则线段[PQ]长度的最小值是（ ）

A. [23] B. [33]

C. [23] D. [53]

[ ]10. 如图，在棱长为4的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E，F]分别是[AD，A1D1]的中点，长为2的线段[MN]的一个端点[M]在线段[EF]上运动，另一个端点[N]在底面[A1B1C1D1]上运动，则线段[MN]的中点[P]的轨迹（曲面）与二面角[A-A1D1-B1]所围成的几何体的体积为（ ）

A. [4π3] B. [2π3] C. [π6] D. [π3]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知[a=（2，-1，3），b=（-1，4，-2），][c=（7，5，λ）]，若[a]，[b]，[c]三向量共面，则实数[λ]等于 .

12. 在正四棱锥[V-ABCD]中，底面正方形[ABCD]的边长为1，侧棱长为2，则异面直线[VA]与[BD]所成角的大小为 .

[ ]13. 将一个半径为5[cm]的水晶球放在如图所示的工艺支架上，支架由三根细金属杆[PA，PB，PC]组成，它们两两成[60°]角，球与金属杆[PA，PB，PC]的切点分别为[A，B，C]，则水晶球的球心到支架顶点[P]的距离是 [cm].

14. 如图，点[O]为正方体[ABCD-A′B′C′D′]的中心，点[E]为面[B′BCC′]的中心，点[F]为[B′C′]的中点，则空间四边形[D′OEF]在该正方体的面上的正投影可能是 . （填出所有可能的序号）

[①②③④]

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 如图，在四棱锥[P-ABCD]中，已知[PB]底面[ABCD]，[ABBC]，[AD∥BC]，[AB=AD=2]，[CDPD]，异面直线[PA]和[CD]所成的角等于[60°].

（1）求直线[PC]和平面[PAD]所成角的正弦值；

（2）在棱[PA]上是否存在一点[E]，使得二面角[A-BE-D]的余弦值为[66]？若存在，指出点[E]在棱[PA]上的位置；若不存在，请说明理由.

[ ]

16. 如图，在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[H]是正方形[AA1B1B]的中心，[AA1=22]，[C1H]平面[AA1B1B]，且[C1H=5].

（1）求异面直线[AC]与[A1B1]所成角的余弦值；

（2）求二面角[A-A1C1-B1]的正弦值；

（3）设[N]为棱[B1C1]的中点，点[M]在平面[AA1B1B]内，且[MN]平面[A1B1C1]，求线段[BM]的长.

[ ]

17. 如图，[AEC]是半径为[a]的半圆，[AC]为直径，点[E]为[AC]的中点，点[B]和点[C]为线段[AD]的三等分点. 平面[AEC]外一点[F]满足[FB=FD=5a]，[FE=6a].

（1）证明：[EBFD]；

（2）已知点[Q，R]分别为线段[FE，FB]上的点，使得[FQ=23FE，FR=23FB]，求平面[BED]与平面[RQD]所成二面角的正弦值. [ ]

18. 在直角梯形[BCDP]中，[∠D=∠C=π2]，[BC=CD=2]，[PD=4]，[A]为[PD]的中点，如图1. 将[ΔPAB]沿[AB]折到[ΔSAB]的位置，使[SBBC]，点[E]在[SD]上，且[SE=13SD]，如图2.

（1）求证：[SA]平面[ABCD]；

（2）求二面角[E-AC-D]的正切值；

（3）在线段[BC]上是否存在点[F]，使[SF∥]平面[EAC]？若存在，确定点[F]的位置；若不存在，请说明理由.

图1 图2