对数函数与指数函数的图像的交点个数的再探讨

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摘要: 本文作者结合教学实践,重点研究了对数函数与指数函数的图像的交点个数的相关问题,希望能对改进相关教学工作有所帮助。

关键词: 对数函数指数函数图像交点个数

教材上有这样一个思考题:一般的,当a>0,a≠1时,函数y=a与y=logx的图像有什么关系?

根据教材上给出的图形,容易知道它们关于直线y=x对称。那么,它们的交点有几个呢?很多资料上都没能正确回答这个问题。例如,在南京师范大学主办的《数学之友》2005版第18页有这样一道题。

已知0

A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个

该书给出的答案是B,如图一。这样解答正确吗?

图一

要解决这个问题,我们必须将函数y=a与y=logx(a>0,a≠1)的交点个数搞清楚。

1.当a>1时,函数y=a与y=logx的图像交点是0个或1个或2个。

教材上给出了y=2和y=logx的图像,如图二,它们没有交点,且都与直线y=x没有公共点。当底数a逐渐减小(a>1)时,函数y=a与y=logx图像与直线y=x逐渐“接近”,然后相切,相交(用几何画板可以清楚地看出这一点)。

下面,我们求a>1时,函数y=a与y=logx的图像仅有一个交点时a的值。

如图三,此时,设函数y=a的图像与直线y=x相切于点P(x,y),

(a)′=a•lna

y=xy=aa•lna=1,

a=x==loge,

x=a=a=e,又由a=e得a=e。

由于函数y=a与y=logx(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,故当a=e时,函数y=a与y=logx的图像与直线y=x相切于同一点P(e,e)。

根据以上分析,我们知道:

当a>e时,函数y=a与y=logx的图像有0个交点。

当a=e时,函数y=a与y=logx的图像有1个交点。

当1

2.当0

下面,我们求函数y=a,y=logx(0

如图五,设函数y=a,y=logx(0

(a)′=a•lna,(logx)′=,

a•lna=,

x=a,

xlna=,

x•lna=-1(x•lna=1舍去)。

又由logx=x得=x,

lnx=x•lna=-1,

x=e,

lna=-=-e,

a=e。

根据以上分析,我们知道:

当e≤a

当0

回到本文开始提出的问题,当0

参考文献:

[1]单土尊.普通高中课程标准实验教科书•数学1(必修).江苏教育出版社,2007.6.

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