FIR低通和带通滤波器的关系分析与仿真

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摘 要：为了避开直接设计带通滤波器的繁琐设计步骤要求，利用低通滤波器与带通滤波器的关系，间接设计带通滤波器是创新之处，即通过设计简单的低通滤波器从而达到设计带通滤波器的要求。介绍了窗函数法fir数字低通、带通滤波器的设计，给出了低通滤波器与带通滤波器的频率响应函数，并分析了它们之间的关系，得出了相关结论，结合实例，利用Matlab证实了该结论的正确性，为带通滤波器的设计提供了一种新方法。

关键词：FIR;Matlab;数字滤波器;低通滤波器;带通滤波器

中图分类号：TN911文献标识码：B文章编号：1004373X(2008)1905703

Analysis and Simulation of Lowpass and Bandpass FIR Digital Filter

ZHANG Xuemin

(Changchun Institute of Technology,Changchun,130012,China)

Abstract：In order to avoid the cumbersome design,the bandpass filter is indierect designed by relationship between it and lowpass filter.The design of lowpass and bandpass FIR digital filter based on window-function method is introduced,and frequency response of lowpass filter and bandpass filter are given,simultaneously,the relation between lowpass and bandpass filter is analysed and conclusion is drawn.In order to testify this conclusion,Matlab is proved to be right.

Keywords：FIR;Matlab;digital filter;lowpass filter;bandpass filter

数字滤波器是数字信号处理中重要内容之一。与模拟滤波器相比，其具有精度、稳定度、灵活性高，不需要阻抗匹配和便于大规模集成等优点。从结构上可分为无限冲击响应(Infinite Impulse Response)数字滤波器和有限冲击响应(Finite Impulse Response)数字滤波器；从功能上分为低通、带通、高通和带阻滤波器。由于FIR具有严格的线性相位特点，而该特点又是图像处理、数据传输所必需的，故从数字滤波器的时域冲击响应以及与之相对应的频域频率响应函数出发，仅讨论FIR低通、带通滤波器的关系，并对此加以验证。

Matlab是英文Matrix Laboratory的缩写。它是美国Math Works公司推出的具有强大数值计算功能和数据可视化的软件。本文以Matlab 7.0为仿真平台，利用Matlab信号处理工具箱函数对FIR低通和带通滤波器的关系进行仿真验证。

1 FIR数字滤波器窗函数设计法

FIR滤波器的设计方法主要有窗函数法、频域采样法和切比雪夫逼近法。本文主要使用窗函数法，其设计思想是根据设计要求，即给定的滤波器的技术指标，选择滤波器长度和窗函数ω(n)。过程如下：由所给的理想滤波器的频率响应Hd(ejω)，得到其单位采样响应hd(n)；鉴于hd(n)是无限长序列，且是非因果序列，故对其加窗处理，得到有限长序列 ，即h(n)w(n)=hd(n)，加何种窗函数及窗的长度，要视具体情况而定。

FIR传递函数为：

H(z)=∑N-1n=0h(n)z-n

由此得差分方程为:

y(n)=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)+…+

h(n-1)x［n-(N-1)］

则差分方程的系数［h(0) h(1) … h(N-1)］构成的向量即为图1滤波器的系数。

图1 FIR滤波器的结构图

窗函数法设计FIR数字滤波器时，常用的窗函数有6种，即矩形窗(boxcar)、巴特利特窗(bartlett)、汉宁窗(hanning)、海明窗(hamming)、布莱克曼窗(blackman)和凯塞窗(kaiser)。设计滤波器时，选择哪一种窗函数，要根据设计要求而定，一般应遵循以下两点：窗函数频率特性的主瓣宽度应尽可能窄，且尽可能地将能量集中在主瓣内；窗函数的频率特性的旁瓣在当ω趋于π的过程中，其能量迅速趋于0。Matlab工具箱中设计低通、带通滤波器的函数为b=fir1(N,ω,window)，式中N为滤波器阶数，ω为归一化截止频率，(0

2 线性相位FIR低通、带通滤波器的设计及二者的关系

2.1 线性相位FIR低通滤波器的设计

设截止频率为ωc的线性相位理想低通滤波器的幅频响应为Hd(ejω)，低通特性的群延迟为α，则Hd(ejω)=e-jωα, |ω|≤ωc0,ωc≤|ω|≤π,这表明在|ω|≤ωc范围内，Hd(ejω)的幅值是1，相位是-ωα。其幅频响应示意图如图2(a)和2(b) (图2(a)是截止频率为ωc2的低通滤波器的幅频响应，图2(b)是截止频率为ωc1的低通滤波器的幅频响应)所示。

理想低通滤波器的单位冲击响应:

hd(n)=12π∫ωc-ωce-jωαejωndw=ωcπ・sin［ωc(n-α)］ωc(n-α)(1)

hd(n)是中心点在α的偶对称无限长非因果序列，要得到有限长的h(n)，可对其做加窗处理，为了分析问题方便，这里选矩形窗RN(n)，N是矩形窗长度。由于要求FIR滤波器的相位是线性的，h(n)必须偶对称(或奇对称)，即其对称中心为窗长的1/2，也就是α=N-12,故有:

h(n)=hd(n)Rn(n)=hd(n), 0≤n≤N-1

0,n为其他值

将上式代入式(1)中，可得:

h(n)=ωcπsinωcn-N-12ωcn-N-12,0≤n≤N-1

0n为其他值(2)

此时，一定满足h(n)=h(N-1-n)这一线性相位条件，上述即为线性相位FIR低通滤波器的设计过程。

注：窗函数设计法的一个要点就是需要预先确定窗函数的形式和窗的长度N，通常N的大小要通过几次试探才能最后确定。

图2 理想滤波器的幅频响应

2.2 线性相位FIR带通滤波器的设计及其与低通滤波器的关系

理想线性相位带通滤波器频率响应:

Hd(ejω)=e-jωα, ωc1≤|ω|≤ωc2

0,ω为其他值

其幅频响应示意图如图2(c)所示。

其单位冲击响应为:

hd(n)=12π∫ωc2ωc1Hd(ejω)ejωndω+12π ∫-ωc1-ωc2Hd(ejω)ejωndω

=12π∫ωc2-ωc2Hd(ejω)ejωndω+12π∫ωc1-ωc1Hd(ejω)ejωndω