借助几何直观 凸显意义建构

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“点阵问题”是人教版小学数学四年级下“数学广角”例3的教学内容，安排在例1、例2植树问题之后。点阵问题的本质是关于一个封闭图形的植树问题，也就是栽树棵数正好等于间隔数的思想渗透。但在教学实践中，从植树问题入手，容易把问题复杂化，而且教材也没有给出唯一的解答方案，只是提供了一些思考的方法。

那么，点阵问题的教学应凸显怎样的数学思想？这些基本思想的建构又该给学生提供怎样的教学支撑？显然光从问题的解答入手，几个算式很难让大部分学生感受其蕴含的数学思想，于是，笔者从学生探究问题的过程与策略入手，通过几何直观来实现基本数学方法的意义建构，为今后的数学学习与发展打下扎实基础。

一、联系生活，形成数学问题

【教学片段一】

师：同学们，去年我们宁波市实验小学举行了九十周年校庆活动，有很多同学都参加了这场隆重的校园嘉年华。在排练时，小演员们排成了各种队形（课件出示各种学生队形：三角形、四边形、五边形），为了看得更清楚些，我们用点子图表示。从图中你能得到哪些信息并提出怎样的数学问题？

学生经过观察发现，提出了“每边有7人，排成各种队形分别需要多少人”的数学问题。于是我们从最简单的三边形入手进行研究。

（设计意图：数学问题的教学应经历一个问题形成的过程，因此在教学点阵问题的一开始，就创设了一个学生非常熟悉的生活情境，并从中抽象出数学问题，实现了“从头到尾”的问题思考过程。并从简单的三边形入手进行研究，从易到难，且有利于突出解决点阵问题的基本方法。）

二、图式结合，探究解决方法

【教学片段二】

师：先想一想解决这个问题的思路，然后借助图在上面圈一圈，再根据圈的情况列出算式，并向同桌说一说你的想法。

（设计意图：对于点阵问题，学生或多或少已经有所接触，因此让学生自己试着圈一圈，并根据圈的方法列出算式，能够把学生的思维外显，体现图式结合的思想。）

1.在黑板上呈现生1的作品。

师：哪些同学和他圈得一样？

师：根据这样的圈法你能列出算式吗？

生：我的算式是7×3-3。

师：为什么要减去3？

生：因为这个三角形有3个顶点，每个顶点都计算了两次，所以要减去一次的3个顶点。

师：请你在图上指出重复的3个顶点。

教师便根据学生的回答把图上3个顶点的位置变成另外的颜色，并指着黑板的图小结：每边7人，这是1个7、2个7、3个7。3个顶点上的3个人重复计算，所以要减3。

2.你有什么不同的想法？

师：他圈的和刚才有什么不一样？

生：他把6个人圈成一组，一共圈成3组。

师：这样圈有什么好处？

生：我觉得他这样圈的好处是不用把重复的顶点减掉，很简便。

师：根据这样的圈法，算式又是怎样的呢？

生：（7-1）×3。

师：顶点上的这个人，既属于这条边也属于那条边，我们让他只算在一条边上，这样就避免了重复计算。你们都明白了吗？那就让我们都闭起眼睛，想一想这种方法的图式，再想一想算式。

3.教师展示了另一位学生的图，问：你觉得他跟前面两位同学想得一样吗？

生：我把5个人看成一组，这样圈成三组，还有3个顶点没有计算过所以还要再加3。

师：为了避免重复，我们先把顶点上的3颗不看，算（7-2）×3，再加3。

（设计意图：在反馈过程中，教师没有联系植树问题的间隔数、棵数等术语，而是始终围绕了“你是怎样圈的”“根据这样圈算式该怎样列”这两个中心问题而展开，这样就有机地把学生的思维与外部的图式结合起来，促进方法的意义建构。）

师：同学们排成三边形队伍，每边7人，一共需要18人。刚才通过圈一圈、算一算的方式帮我们解决了这个问题。请你观察几种方法，你觉得解决这类问题的关键是什么？

生：我觉得三角形的关键是三个重复的点。

师：第一种方法把重复计数的部分减去，而其他两种都是先避免了重复计数的情况，然后再进行计算。所以我们在解决这类问题的时候，首先要考虑哪些是会重复计数的，再选择合适的方法进行计算。

（设计意图：适当的提炼和总结，让学生对刚刚获得的基本方法进行了回顾和整理，并结合图式梳理出解决问题的一般方法。）

三、横向探究，形成数学模型

【教学片段三】

1.自主探索解决四边形、五边形队形问题。

师：那排成四边形和五边形，每边7人，分别需要多少人？你会解决吗？请你选择一种队形画一画、想一想，能想出几种不同的方法解决问题？

教师根据学生呈现的作业提问：所画的图和算式表达的意思一样吗？

为什么要减4（或5）？它们分别表示什么？

2.合作探究，引导、发现、建模。

观察下图：

师：刚才同学们解决了四边形、五边形队伍的问题，想出了很多方法，现在我们需要对填好的表格进行进一步的观察和比较，同桌讨论，你们有什么发现？

生：我发现四边形的第四种方法只适合用于偶数边的队形，不适用于三边形和五边形。

生：我发现三边形乘3，四边形乘4，五边形乘5。

生：我发现三边形减3，四边形减4，五边形减5。

师：对啊，有几条边我们就乘几，重复计算的顶点跟边数也相同。

生：我们可以根据算式想到图，也可以根据图来想算式。

师：用图帮我们思考，这是一种很好的方法。

（设计意图：教师对解决的三边形、四边形、五边形的问题作一个横向比较，让学生在比较中发现解决方法的共同点，从而为进一步建立模型打好基础。在反馈中，学生从三种队形的共同特点出发，发现乘几、加几、减几都与边数有关。还有从四边形解决方案的特殊性出发，发现第四种方法有一定的适用性，从而突出了解决此类问题的一般方法。）

师：如果每边还是7人，排成八边形，共需要几人？

生：我想到的是6×8=48人。

师：想一想，他脑子里出现的是哪幅图？

生：他想到的是第二种图。

师：如果画出来的是第一种图，你觉得算式应该怎样？

生：我觉得算式是7×8-8。

师：如果列出算式是7×10-10，大家猜猜他设计的是几边形。

生：他设计的是十边形。

师：如果排成n边形，你能用简洁的算式表示共有几人吗？

生：可以是7n-n。

生：可以是（7-1）×n。

生：可以是（7-2）n+n。

（设计意图：从表格的观察过渡到想象的直观，教师一步步引导学生想八边形怎样解决，看算式猜一猜这是几边形，用这样的方式引导学生在头脑中画出直观图来，思考问题的层次进一步递进，直到最后找出此类问题的一般模型，在学生的头脑中牢固地建立了点阵问题的图式模型。）

四、拓展应用，解释、发展数学模型

【教学片段四】

1.看书，解释数学模型。

师：今天学习的内容在教材第120页上，围棋盘的最外层能放19个棋子，最外层一共可以摆放多少个棋子？书上的两种方法你能解释它的思考模型吗？你还能想出其他的方法吗？

2.变式，发展模型应用。

学校召开运动会，操场每边要摆30盆花，需要几盆花？

教师展示了一位学生的作业：先书写的算式是30×3-3，后改为30×3-2。可以发现他的思维改变过程。

师：原来的算式是30×3-3，为什么又改成了30×3-2？

生：我原来列了一个算式，后来又画了一个图，发现重复的只有2盆，不是3盆。

师：他通过圈一圈发现自己错了，并及时纠正。还有不同想法吗？

生：我的算式是（30-1）×2+30，前面两条边都圈29盆，最后一条边是30盆。

生：我的算式是30×2+（30-2），两边的两条边都圈30盆，中间的一条边是（30-2）盆。

生：我的算式是（30-1）×3+1，每边都圈29盆，最后再加上一盆。

（设计意图：在练习中，教师打破了封闭图形的惯性思考，呈现这样的变式，让学生自觉地画出了解决问题的方案图，并根据图列出相应的算式，这样的练习有助于学生进一步体会灵活应用模型的思想。）

3.如果把这88盆花摆成一个正方形，要求每边数量相等，而且顶点都要放，每边可以摆几盆花？

生：我先放好四个顶点，剩下84盆花，每边还可以再放21盆，再加上两边的顶点，也就是23盆。

生：我画出了我们的第二种图，把88盆花平均分成4份，每份22盆，这样只算了一个顶点，再加上一个顶点，也是23盆。

（设计意图：逆向的问题思考，在不断借助几何直观的教学背景之下，水到渠成，很好地实现了预期任务。）

在“点阵问题”教学中，师生共同借助几何直观，实现了数学思想与方法的意义建构，有效达成了预期目标。在本课的教学实践中，教师通过创设系列问题情境，学生在几何直观的辅助下，有效地把解决问题的图式模型建构在自己的知识结构之中，促进了学生数学思维的发展。

“点阵问题”的教学实践，彰显了几何直观的价值，也彰显了数学广角的学习价值。可惜的是人教版教材在修改时将这一内容放到五年级上册植树问题的课后练习中，教学价值能否有效体现值得教师深思。

（浙江省宁波市实验小学 315000

浙江省宁波市海曙区教育局教研室 315000）