计算机热背后的数列问题
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现在各行各业都掀起计算机学习热，随之，以计算机知识为背景的创新型试题如雨后春笋，纷至沓来，且备受命题者青睐，计算机知识不仅体现了与时俱进的思想，更体现了计算机中的数学原理及数学机制，下面例析几类以计算机知识为背景的数列问题，供同学们参考。
一、计算机中的数制问题
我们日常生活中通用的是十进制，而计算机语言是二进制，故就有互化问题，
例1 电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：
观察二进制为1位数、2位数、3位数时对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中最大数是___________。
解 由表中观察可得：
1=1×20, 2=1×21+0×20, 3=1×21+1×20,4=1×22+0×21+0×20, …, 8=1×22+0×22+0×21+0×20。
故二进制6位数中最大数为111111，可表示为1×25+1×24+1×23+1×22+1x21+l×20=63，故填63，
例2 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2，表示二进制数，将它转换成十进
二、计算机中的程序设计问题
例3 下面是一个计算机程序的操作说明：
(1)初始值x=1，y=1，z=0，n=0；
(2)n＝n+1(将当前n+1的值赋予新的n)；
(3)x=x+2(将当前x+2的值赋予新的x)；
(4)y=2y(将当前2y的值赋予新的y)；
(5)z=z+xy(将当前z+xy的值赋予新的z)；
(6)如果z＞7000，则执行语句(7)，否则回语句(2)继续进行；
(7)打印n，x；
(8)程序终止。
由语句(7)打印出的数值为____________，_____________。
请写出计算过程。
分析 此题关键是将计算机语言(3)、(4)、(5)转化为数列关系式来求解，即正确理解“将当前……的值赋予新的……”，将它转化成数学语言，即为这一项与前一项的关系。
解 设n=i时，x,y,z的值分别为真xi，yi，zi，依题意，有
x0=1，xn=x-1n+2，{xn}是等差数列，且xn=2n+1，
y0=1，yn=2yn-1,是等比数列，且yn=2n,
z0=0, zn=zn-1+Xnyn,
Zn=x1y1+x2y2+…+xnyn=3・2+5・22+7・23+…+(2n+1)・"22， ①
2zn=3・22+5・23+7・24+…+(2n-1 )・2n+(2n+1)・2n+1。 ②②－①得
zn=-3・2-2・22-2・232・2n+(2n+1)・2n+1=-2n+2+2+(22+1)・2n+1=(2n-1 )・2n+1+2。依题意，程序终止时：zn＞7000，Zn-1≤7000，
可求得n=8，z=7682。
三、计算机中的数据处理问题
例4 对任意函数f(x)，x∈D，可按右图构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x0=f(x0)；
②若x1∈D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去。
现定义f(x1)=(4x+2)/(x+1)，
(Ⅰ)若输入x0=49/65，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项；
(Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值’
(Ⅲ)若输入x0，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有xn＜xn+1，求x0的取值范围。
分析 本题是将计算机的逻辑流程图与函数的迭代、不动点等知识有机结合，阐述了计算机的工作原理和数学过程，题干中数列发生器是一个陌生的模型，关键在于“结束工作”与“继续下去”的理解，进行不断转化，而输出信息。
解 (Ⅰ)f(x)的定义域D=(-∞，-1)U(-1，+∞)，
数列{xn}只有三项：x1=11/19，
x2=1/5，x3=-1，
(Ⅱ)f(x)=(4x-2)/(x+1)，即x2-3x+2=0，x=1或x=2，即x0=1或2时，Xn+1=(4x-2)/(xn+1)=xn，
故当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2(n∈N)。
(Ⅲ)解不等式x＜(4x-2)/(x+1)，得x＜-1或1＜x＜2，
要使x1＜x2，则x2＜-1或1＜x1＜2。 ? ?对于函数f(x)=(4x-2)/(x+1)=4-6/(x+1)，
若x1＜-1，则x2f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2，
当1＜{x1＜2，x2=f(x)＞x1且1＜x2＜2。
依次类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn(n∈N)。
综上所述，x1∈(1，2)，由x1=f(x0)，得x0∈(1，2)。