群中同谱但不同构的群的例子

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【摘 要】本文找到了两个不同构的阶群和使得这两个群的各阶子群个数，各阶循环子群个数，各阶交换子群个数，各阶正规子群个数均相等。对徐明曜，曲海鹏在其《有限群》一书中提出的问题12.1.12在3-群给出了一个否定回答。

【关键词】同谱 子群个数 同构 计数

为叙述方便， 我们先引入下列符号：设是有限3群， ，对于 我们用表示的阶子群的个数，表示的阶正规子群的个数， 表示的阶交换子群的个数，表示的阶循环子群的个数。

文[1]给出了群中同谱但不同构群的例子。很自然的问题是：在3-群中有没有同谱但不同构的群的例子？答案是肯定的，本文将给出3-群中同谱但不同构的群的例子

例子 设n为正整数且。令

其中为某固定的模平方非剩余。则G与H不同构，但G与H同谱。

证明 首先，我们有下列结论：

（1）；

（2）都是二元生成的亚交换3群，其阶都是阶；

（3）幂零类为；

（4）交换交换的；

（5）；

（6）

下面我们利用以上结论分四步来证明。

（Ⅰ）

由，从而，

经计算可得：

（Ⅱ）

由，又，

于是有。

经计算得：

（Ⅲ）

容易知道：。当时，

由于。从而，。于是，有个极大子群。

因为，并且，所以是不交换的；交换当且仅当；

交换当且仅当。

因此，当时，

。

当时，因为，于是的个极大子群。这极大子群中只有交换。因此，。

从而，

同样地计算得到：。

（Ⅳ）

当时，下面先来计算的循环正规子群。为了方便起见，用来记的循环正规子群的个数。

则，

（2）当时，下面先来计算的阶非循环正规子群个数。

为了方便起见，用来记的阶非循环正规子群的个数。首先来计算阶非循环正规子群的个数。

则，

从而，

同样地计算得到：。

由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）可知。

参考文献：

[1]蔡东平，同谱但不同构的群的例子， 山西师范大学学报（自然科学版）[J]. 2013， 2： 1～4.

[2]徐明曜，曲海鹏，有限群[M].北京：北京大学出版社，2010.

[3]徐明曜，有限群导引（上册）[M].北京：科学出版社，1999.

作者简介：

蔡东平（1984―），男，河南陕县人，硕士，讲师（陕西国际商贸学院），主要从事有限群方面的研究。

基金项目：陕西国际商贸学院2013校级课题科研基金资助