跳出教材看“速度”,立足模型看“关系”

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很多教师重视常见数量关系的教学，但在实际教学中，也经常出现一些问题。请看一位教师关于《路程、时间与速度》教学设计中的教材分析。

《路程、时间与速度》是北师大版小学数学教材四年级上册第五单元第二课时的内容。纵观这节课的教材编排，不难发现有以下知识点：路程、时间与速度的数量关系，速度的含义，速度单位的读写，线段图的出现，函数思想的渗透等。这么多的知识点，不可能在短短40分钟完全解决，因此要有侧重。那么路程、时间与速度三者的数量关系式是应有所侧重还是平均使力？把目光投向整个单元——除法，可以理解应以速度为主，否则不如放到前面的乘法单元，那就以路程为主了。

可以看出，这位教师是很有思想的，对教材的解读是认真的，但还存在一些思考上的“死角”。本课教学的难点是速度没错，但将教学的重点放在速度上，将侧重点放在“路程÷时间=速度”上，甚至为了“速度”的理解，整整花了半节课或更多的时间，是否有点“厚此（速度）薄彼（关系）”？是否会“捡了芝麻丢了西瓜”？要知道，在数学这条高速公路上“慢速”行驶是会导致塞车的，有的教师就被堵上了；“方向感”不强是会迷路的，有的教师被自身思维框架所限，以致教学任务没有完成。本课的“西瓜”是什么？

《义务教育数学课程标准（2011）》（以下简称《课程标准》）提出应重视“四基”的培养，提出应加强10个核心概念的教学，这当中，就包含了“模型思想”。《课程标准》还在课程内容部分增加了“单价、数量、总价”的教学，提出“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”的学习要求。可见《课程标准》对模型思想的重视。史宁中先生指出：“数学思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。”笔者认为，这是对问题解决、数量关系教学的一种“拨乱反正”。没有数学模型的建构，哪来数学大厦的巍巍高耸？没有数学模型的应用，哪有物质世界的丰富多彩？因此本课的重点是模型思想的体验，是对数量关系的整体把握，而不是对速度进行文本解读，更不是让“路程÷时间=速度、路程=速度×时间、路程÷速度=时间”三个关系式独立存在。反思可以使我们看得更高，走得更远：你是否关注了三个关系式之间关系的建构？你是否想到这三个关系式还可以放置在更大的背景中去理解？为速度而“慢速行驶”值吗？在除法关系式“路程÷时间=速度、路程÷速度=时间”与乘法关系式“速度×时间=路程”之间孰轻孰重？

北师大版教材将《路程、时间与速度》放置在除法单元中，笔者认为其主要意图是想引导学生从乘、除法这两个角度，全面认识“路程、时间与速度”三者的关系，或许并不一定是要突出“速度”和“路程÷时间=速度”这组数量关系。但教材这样安排，容易造成教师对教材解读时的“误读”。

实际教学时，教师应跳出教材看“速度”，立足模型看“关系”。从乘法的意义出发进行理解，“速度”只是每份数而已，“速度×时间=路程、单价×数量=总价”等数量关系只不过是“几个几连加的和”这个已有乘法现实模型“等量组的聚集”在不同的应用领域的另一种表达方式。“速度、时间”是“速度×时间=路程”中的两个因数，求因数用除法，如此而已。将这些常见的数量关系归结于已有的“几个几连加的和”，可以使数学教学“举重若轻”，可以使数量关系的教学直达其根部。史宁中教授说的“不要把简单的事情整麻烦了”值得我们深思，没有必要将数量关系弄得纷繁复杂、支离破碎，而应加强模型之间的内在联系，应凸显乘法的基本模型，整体把握数量关系的结构。

因而，常见数量关系的教学，不能拘泥于教材的编排，不能为教材的“除法”背景所困，而应将其推远，放置在更大的背景中审视、处理。如许卫兵老师执教的《路程、时间与速度》一课，是这样处理的。

师：我们知道速度×时间=路程，为什么求路程要用乘法呢？

生：因为速度是1时、1分、1秒能行多少，时间就是几时、几分、几秒，它们乘起来就可以算出路程。

师：对！速度就是1份，时间就是几份，路程就是总数。为什么求速度或时间要用除法呢？

生：总数除以份数等于每份，而总数除以每份等于份数。

师：我们来回顾二年级的学习内容。

课件出示：有4盘，每盘有3个苹果。

师：可以列出怎样的算式？

生：3×4=12，12÷3=4，12÷4=3。

师：哪个数据相当于速度？

生：3相当于速度。

师：对！因为3是每份数。4相当于什么？12呢？

生：4相当于时间，12相当于路程。

课件出示：由砖铺成的墙。

师：什么相当于速度？

生：一块砖相当于速度。

师：什么相当于路程？

生：总数。

师：是不是还有些数量也是这种一乘两除的关系？

课件出示：单价、数量、总价。

师：它们之间是什么关系？

生：单价×数量=总价，总价÷数量=单价，总价÷单价=数量。

师：这些都是二年级学习的乘法问题！打个比方，乘法是个筐，好多东西里面装！

课件出示：（ ）×（ ）=（ ）。

课件出示了一个筐，将之前的一些数量投放在内。

好一句“乘法是个筐，好多东西里面装！”多么朴实、生动的语言！一语道破了常见的数量关系的本质！本课例教学中，许老师不过分纠缠于速度概念，而是从学生对已有生活经验“限速”的理解直接介入速度学习，通过解决速度问题归纳建构“路程÷时间=速度，速度×时间=路程，路程÷速度=时间”。此时，许老师不满足于三个数量关系式的获得，而是引导学生联结旧知，通过回顾二年级的学习内容“一乘两除的关系”，将数量关系的学习与原有的乘法意义紧密地联系在一起，新知的“生长点”自然浮现，直抵“根部”。同时沟通了不同模型之间的内在联系，达到内化模型、提升模型内在张力的目的。

对教学内容的深度解读，对教学内容之间内在联系的精准把握，对教学内容中蕴含的基本思想的深入挖掘，可以拓宽我们的教学视野，可以促进“数学味”的本色回归，可以彰显数学教学的高度、深度和魅力！

（作者单位：福建省晋江市教师进修学校 责任编辑：王彬）