基于压缩感知的图像去噪的综述
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摘 要
压缩感知是近年来新兴的一门数据采样技术，其主要思想就是利用较少的采样数据对信号进行重构恢复。压缩感知颠覆了传统的信号采样方法，它采用信号的稀疏表示法来保证原始信号的主要结构，再通过重构算法对原始信号进行精确重构。本文将对图像去噪运用压缩感知理论，利用压缩感知的优点，对含噪图像进行稀疏表示，再采用不同的重构算法对原始图像进行恢复，从而完成噪声的去除。
【关键词】压缩感知 重构算法 图像去噪 稀疏表示
1 图像去噪介绍
1.1 图像去噪意义
图像去噪结合了信号处理、传感器、人工智能和计算机等现代高科技技术，其原理是：将获得和输入过程中受到各种噪声污染的图像，利用有关计算机的一定算法去除噪声并且尽可能多的保留原始图像主要特征，更重要的是保护边缘和细节信息，输出一幅更适合于人眼观察或计算机能够进一步研究的去噪图像。去噪后的图像可信度更高，图像更清晰，更适合人眼检测和计算机识别，分析。目前图像去噪技术在遥感图像、自动识别、医学图像处理、计算机视觉等更多领域发挥着重要作用。
1.2 图像去噪的研究现状
近年来，国内外对图像去噪的研究算法有很多种，现在主要的方法是稀疏分解去噪方法，稀疏分解去噪原理是把带噪信号在过完备原子库上进行稀疏表示，仅用若干个较大的表示系数重构原信号，而屏蔽了部分小系数包含的噪声成分，从而实现信号的去噪。稀疏分解使信号更加简洁、自适应的表示成若干基的线性组合，更加全面详细地表示信号涵盖的某些特征，更加有效地将信号和噪声分离开来。基于稀疏表示的图像去噪方法是根据所研究对象是否为图像的稀疏成分把图像中的有用信息和噪声进行区分。图像中的有用信息一般具有一定结构，稀疏表示过程中选取的原子能够表示这些特定结构；然而图像中的噪声是随机的，且没有结构的，因此无法用字典中的原子表示。这样就可以将图像与噪声相区别，以达到去除噪声的目的。
压缩感知（CS）是一种利用信号的可压缩性或者稀疏性对信号进行重构的技术。压缩感知的优势是降低了采样率，直接获得稀疏的信号表示，大大缩减了数据信息的获取时间和存储空间。图1给出了压缩感知的理论过程。
压缩感知包括三个方面：
2.1 信号的稀疏表示
文献[10]给出了稀疏表示的数学定义：信号X在正交基Ψ下的变换系数向量为=ΨTX，假如对于0
如何找到信号最合适的稀疏系数向量？这是压缩感知理论的基本和前提，只有找到最佳的基表示，才能确保信号的稀疏度，从而确保信号的恢复精度。而信号的稀疏化是由稀疏系数 的衰减速度决定的，衰减的越快表示信号的稀疏性越好，其满足以下式子：
其中r=1/p 1/2，0
除了标准正交基之外，冗余字典法是现在研究的另外一个热点。它是由一组正交基构成的超完备的冗余字典，该方法能够稀疏的表示信号。如何构造一组最佳的某类信号的正交基，以求得信号的最稀疏表示，有利于进一步研究。
2.2 观测矩阵的设计
设计观测矩阵在压缩感知理论中起着至关重要的作用，如何设计测量矩阵是压缩感知中的一个难点。
信号的稀疏化是由稀疏系数t决定的。所以，选取一个大小为M×N（M
y= Φx （2.1）
而 ，则得
y= Φx=Φψt=t （2.2）
其中Φ为测量矩阵，大小为M×N。=Φψ为M×N的矩阵，叫作投影矩阵，y被叫做t在投影矩阵下的测量值，大小为M×1，则压缩感知的测量过程如图2所示。
目前，如何设计观测矩阵是压缩感知理论的一个重要方面。在该理论中，对观测矩阵的束缚是比较松弛的，Donoho给出了构成观测矩阵的三个条件，并指出大多数一致分布的随机矩阵都具有这三个条件，都可作为观测矩阵，如：部分Fourier集、部分Hadamard集、一致分布的随机投影（uniform Random Projection）集等，这与RIP性质进行研究得出的结论相一致.但是，使用上述各种观测矩阵进行观测后，都仅仅能保证以高概率去恢复信号，而不能完全地精确的重构信号。对于任何一个稳定的重构算法是否存在一个真正的确定性的观测矩阵仍是一个有待探讨的问题。
2.3 信号重构
对于压缩感知理论的信号重构问题，首先定义向量X={x1，x2，…xn}的p-范数
（3.1）
当p=0时得到0-范数，它表示的是x中非零项的个数。
因此，在信号x压缩或稀疏的条件下，对欠定方程组Y= Φ=ΦψTX的求解问题就转化为最小0-范数问题：
s.t. Y= Φ=ΦψTX （3.2）
但是，它需要找出X中所有非零项位置的 种可能的线性组合，才能求得最优解。因此，式（3.2）数值计算的求解是很不稳定的。所以，Chen，Donoho和Saunders提出，求解一个更加简易的l1优化问题会产生同样的解（要求Φ与Ψ不相关）：
s.t. Y= Φ=ΦΨTX （3.3）
细微的差别就将问题变成了一个凸优化问题，于是可以化简为线性规划问题。而基于1-范数的重构经典算法有内点法（Basis Pursuit，BP）和梯度投影法（Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR）。由于1-范数下的算法速率慢，因此，新的快速贪婪算法被逐渐使用，如匹配追踪法（MP）、正交匹配追踪算法（OMP）、压缩采样匹配追踪算法（CoSaMP）、正则正交匹配追踪法（ROMP）和迭代阈值（IHT）等。
3 基于压缩感知的去噪方法
与传统的去噪方法相比，基于压缩感知的去噪方法能够充分发挥稀疏表示的优点，灵活的适应实际问题，降低采样率和数据处理的成本，获取较好的去噪效果。
3.1 基于压缩感知并运用OMP算法的椒盐去噪
椒盐噪声是图像处理中一种十分常见的噪声，其特点是噪声点匀称分散于整幅图像，由于椒盐噪声只破坏了图像结构的一部分，其他大部分的图像信息都是精确的，因此，可以充分利用这部分精确的数据，通过求解最优化问题，重构原图像。
在传统去噪模型 subject to 下，提出了一种椒盐噪声检测的采样，利用阶梯观测矩阵良好的0稀疏定位能力，并利用OMP算法的低复杂性和稳定性，来对信号进行重构。
算法步骤：（1）已知原始含噪信号Z；（2）噪声检测采样，构造阶梯观测矩阵，首先检测信号Z中噪声的位置， 然后将对应的行删除作为阶梯观测矩阵ΦZ；（3）将DCT基作为稀疏变换基；（4）采用OMP算法进行重构。
椒盐去噪算法流程图如1：
3.2 基于压缩感知并运用K-SVD算法的图像去噪
3.2.1 K-SVD算法
为了逼近的得到式（信号yi，最稀疏的解的表示xi和未知字典A），的解，训练一个字典A能够稀疏表示数据 。初始化k=0，并且初始化字典：构建 ，要么使用随机的条目进行计算，要么使用m随机选择的例子来进行计算。标准化A0的数组。k每次增加1，然后开始迭代，并最终得到结果A（k），此过程如图3所示。
稀疏编码阶段：采用一个追求算法来逼近下式的解
s.t. （3.1）
得到了在1≤i≤M下的稀疏表示，它们构成了矩阵X（k）。
更新阶段：使用下面的步骤来更新字典的数组并得到A（k），j0=1，2，…，m对 重复以下步骤：
（1）定义使用原子aj0的例子的组合 （3.2）
（2）计算剩余矩阵，其中xj是矩阵X（k）的j列 （3.3）
（3）约束Ej0，使其选择的数组与Ωj0相一致，并得到 ；
（4）应用SVD分解，通过 来更新字典原子aj0=u1。
停止规则：如果 中的改变足够的小，则停止，否则继续迭代。
3.2.2 去噪算法步骤
（1）将零均值的高斯白噪声加入原始的干净图像中；（2）对X进行初始化，假设X=Y， D=DCT字典；使用OMP算法对每一小块图像求出近似解；（3）对字典进行升级，用K-SVD算法找到最优的D，并求出近似原始图像的稀疏表示；（4）通过OMP算法重构恢复出原始图像，噪声去除。
3.3 基于压缩感知并运用TV重建算法的图像去噪
3.3.1 图像去噪的基本原理
为了得到图像去噪，首先将含有噪声的图像X进行稀疏域变换（X+z）= ψs，式中z为加性噪声。然后对变换后稀疏系数向量s进行测量，即y=Φs。
3.3.2 TV重建算法
重建就是在满足观测值的基础上寻找最稀疏解的过程：s.t Af=p 但是上式是个非凸优化问题，是一个典型的NP-hard问题，不易求解。因此Candes和Donoho提出用1-范数l1来代替0-范数l0进行求解。图像重建问题中，f代表离散化的图像的灰度。这里，我们用fs，t表示图像s行，第t列像素的灰度值，则图像的TV可以表示为：
（3.5）
图像的TV就是其梯度图像的l1范数（一幅图像的l1范数就是图像中每个像素的值的绝对值之和）。在实际的TV范数计算中，式（3.5）对于求导运算不太容易，大多采用l2范数来近似l1范数，并引进一个正的较小的参数τ，以防对TV（f）求导后为无穷大。
（3.6）
式（3.6）对某个像素fs，t求导，得（3.7）式：
（3.7）
通过测量向量y来实现图像X的重建和去噪，实现重建的一个重要前提是信号为稀疏的。图像绝大多数是稀疏的，但是噪声在常规域下是不稀疏的。通过压缩感知理论对噪声进行稀疏变换，然后对变换后的系数进行M维向量，使得多数噪声已经被去除，仅含有M维的噪声向量。如果M值越小，将会有更多的噪声信息被去除。通过对测量的M维噪声向量进行重建，去除混有的少量噪声，同时可以精准重建具有稀疏性的图像，从而达到去除图像中混有的噪声。
3.3.3 去噪算法步骤
（1）对含有噪声的图像X进行DCT变换，获得变换后的稀疏系数s，表示为（X+z）=ψs。（2）构造M× N维测量矩阵Φ，该测量矩阵Φ与稀疏基矩阵ψ是不相干的。然后，通过测量矩阵Φ实现对部分稀疏系数s的测量，获得测量向量y，表示为y=Φs。（3）对测量向量y进行TV重建算法来恢复图像信号x'。
4 小结与研究展望
本文首先介绍了图像去噪和压缩感知的相关理论，并将压缩感知运用到图像去噪中，基于压缩感知，提出了三种去噪方法：基于压缩感知并运用OMP算法的椒盐去噪；基于压缩感知并运用K-SVD算法的图像去噪；基于压缩感知并运用TV重建算法的图像去噪。压缩感知压缩感知的突出优点是降低了采样率，直接获得稀疏的信号的表示，大大减少了数据信息的获取时间以及存储空间，以获取较好的去噪效果。
压缩感知在应用于图像去噪时，应该将重建算法继续加强改进，另外可以将测量矩阵构造和重建算法的构建同时进行改进；同时压缩感知中的观测矩阵绝大多数是随机矩阵，如何用一个稳定的确定性的矩阵来得到观测矩阵，以此来达到更好的去噪效果；此外压缩感知是门新兴的技术，如何进一步的应用到更多的领域也是以后要研究的问题。
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作者简介
张丽娟（1991-），现就读北方民族大学数学与信息科学学院硕士研究生，研究方向为图形图像处理。
作者单位
北方民族大学数学与信息科学学院 宁夏回族自治区银川市 750000