化抽象为具体

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枚举法是一一列举出来的方法，它是抽象问题具体化、形象化的体现，下以古典概型为例，说明枚举法的具体表达形式有列表枚举、树状图枚举，或用对应符号枚举等．

例

抛掷两枚均匀的骰子，向上点数分别为a, b，求a－b>2的概率．

记“a－b>2”为事件A．

1° 列表枚举法．

表中36个点横、纵坐标分别表示

第一枚骰子点数、第二枚骰子点数，

P(A)=636=16.

此法是借用坐标系将基本事件一一枚举出来，形象直观，不易出错，一维的数轴，二维的平面直角坐标系，三维的空间直角坐标系可解决小于等于3个变量的问题，此法可变为求a2+b2>10的概率，ba为整数的概率，或ba>2的概率等与图形有关的概率，此法的实质是数形结合，高中数学四大思想之一的数形结合无处不在当然．此法不仅在概率中，它贯穿高中数学始终，如统计中的散点图，数列中（n，an），线性规划中的整点问题都有具体体现.

2° 画树状图枚举．

此法是用分步计数原理借助树状图将每种情况一一枚举出来，再找出满足条件基本事件．在枚举过程中要注意每个基本事件等可能，如：甲、乙两人比赛，甲再赢一局就胜，乙需赢两局才胜，求乙获胜的概率．

第一局 甲 乙甲乙

第二局

P(乙胜)=13，此解法错，错误原因在于每个基本事件不等可能，为了每个基本事件等可能，若第一局乙赢，需比赛两局才能分出胜负，因此为了基本事件等可能，需要全部比两局．

第一局 甲甲乙 乙甲乙

第二局

P(乙胜)=14．

再如：某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在右图所示的6个点A， B， C， A1， B1， C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，求每种颜色的灯泡都至少用一个的概率．

此题可按分步计数原理选色的顺序A1―B1―C1―A―B―C，选A1―B1―C1共4×3×2＝24种，下选A， B， C处颜色比较复杂，我们可用树状图枚举四种颜色，记为1， 2， 3， 4．记“每种颜色的灯泡至少用一个”为事件B.

若A1， B1， C1选色为1， 2， 3号色灯泡

ABC 3124412412312

总的基本事件24×11种，每种颜色至少用一个共24×9种，P(B)=24×924×11=911．

枚举法形象具体，实用性强，此法也可用在数学其他章节，如数列{an}满足：a1=m（m为正整数），an+1=an2, 当an为偶数，

3an+1,当an为奇数,若a6=1，求m所有可能取值．

a6

a5

a4

a3

a2

a1

124816325124

3° 用对应符号枚举．

（1, 1）（1, 2）（1, 3）（1, 4）（1, 5）（1, 6）

…

（6, 1）（6, 2）（6, 3）（6, 4）（6, 5）（6, 6）

此法有个难点是如何做到不重不漏，而要做到不重不漏，枚举时要有逻辑性，不能杂乱无章，用二维有序数对表示每个基本事件，枚举时先抓一个变量有序列出，第一变量固定再有序列出第二个变量，即突出先分类后枚举的思想．

如：抛掷两枚均匀的骰子，向上点数分别为a， b，求方程组ax+by=3,x+2y=2只有正数解的概率．

记方程组有正数解为事件B．

求出方程组的解x=6－2b2a－b>0,y=2a－32a－b>0．

则2a－b3,a0,b32．

先将一个变量按顺序取值，后按第一个变量的值分类．

当a=1时，b>2,b>3,即b>3， 所以b=4, 5, 6；

当a=2时，b

当a=3时，b

当a=4时，b

当a=5时，b

当a=6时，b

所以B中含13种基本事件.

枚举的表示手法多种多样，但万变不离其宗，其实质是将抽象问题具体化，而具体化的手段又多种多样，可用列表，树状图，符号一一列举出，这个过程反映数学的化难为易、化抽象为具体、化未知为已知的化归思想．