角色换位法在立体几何解题中的运用

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在立体几何解题中，我们在求点到平面的距离这类问题时，对问题中的一些元素，如四面体的顶点和底面的关系所处的地位，不妨进行一下角色换位，对同一问题，在不同的位置，从不同的角度去审视，就能摆脱思维定势的束缚，换位思考，往往能使一些问题的解决，独辟蹊径，豁然开朗，收到出奇制胜的效果。

例如：在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求顶点B到截面AB1C的距离。

由线面垂直关系的判定和三垂线定理的应用，加上图形的相似性可推导出BG┻截面AB1C，BG即B点到平面AB1C的距离，值为33α。

但如果将三棱锥B―AB1C的顶点B与三棱锥B1―ABC的顶点互换(在同一个四面体)，将这个四面体换顶点、底面的位置，再用同一个四面体体积相等的方法，即VB―AB1C=VB1-ABC，由已知条件可解出13[34(2α)2]-h=13・12・α2・α四面体B-AB1C的高h，这里h=33α即为顶点B到截面AB1C的距离。

又例如：图中ABCD―A1B1C1D1为棱长为a的正方体，M、N分别是BC边和CD边的中点，求点B到截面C1MN的距离。

这题还是角色换位法

直接去解，将四面体B―C1MN顶点B换成顶点N，四面体N―C1MB上仍然由同一个四面体(只不过顶点与底面互换角色)体积相等，列出关系式：13・12・22α・322αh=13・α2・α・α2解出h=a/3即顶点B到截面C1MN的距离。

接着我们看一下05年全国成人高考数学理工类第23题2小题。

如图，已知三棱锥P―ABC，E，F分别为PA，PB的中点。求三棱锥P―EFC与三棱锥P―ABC体积的比值。

解这题时，我们将顶点P与C互换，将底面与侧面互换，这样三棱锥P―EFC与三棱锥P―ABC的体积比，就可以用三棱锥C―PEC与三棱锥C―PAB的体积比来等量代，换根据已知中点条件，并设顶点C到底面PAB的距离为h，我们就可求得：VP―EFCVP―ABC=VP―PEFVP―PAB=13(SPEF)h13(SPAB)h=14

再看一个底面与侧面角色互换解题的例题，三棱锥P―ABC被任意平面截得截面A1B1C1，求证：VP―A1B1C1VP―ABC=PA1・PB1・PC1PA・PB・PC

解这题时一般我们都习惯以A1B1C1及ABC为底面，但由于截面A1B1C1是由任意截面截得，因此SA1BICl无法确定，若能注意到四面体的多端性，进行角色底面、侧面换位，即将ABC视为侧面，以其它任意一个侧面为底面，这样问题就很容易解决，我们不妨以PAC为底面，则B1，B到底面PAC的距离之比B1H1BH=PB1PB

又因为SPA1C1SPAC=12・PA1・PC1・sin∠A1PC112・PA・PC・sin∠APC

这里∠A1PC1=∠APC所以SPA1C1SPAC=PA1・PC1PA・PC

从而易知VP―A1B1C1VP―ABC=13[12・PA1・PC1・sin∠A1PC1]・BH113[12・PA・PC・sin∠APC]・BH=PA1・PB1・PC1PA・PB・PC

收稿日期：2007-09-28

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