一种新的弱信号混沌检测判据
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摘要：将混沌理论用于检测微弱信号时，涉及混沌的判别问题。传统的混沌判别方法无论是直观法的简单不精确还是定量法的精度高计算复杂，都有一定的局限。该提出一种新的方法，来确定系统是否从混沌态跃变到了大周期态。在实践中，我们首先根据lebesgue测度的性质，做出科学的时频分析；然后结合着定性与定量分析，确定混沌系统的阀值；最后根据时频分析的结果以及混沌系统的阀值，识别出混沌态与大周期状态。
关键词：微弱信号；混沌；lebesgue测度；Wigner变换
中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)08-1891-03
认识混沌现象是非线性科学领域的一项重要成就，近些年引起了人们越来越广泛地关注。研究噪声中的微弱信号检测的原理及方法，是测量技术中的综合和尖端技术。可检测出很难测量的微弱量，比如弱光、小位移、微振动等。检测有用信号，提高信号的信噪比是其研究目标。根据混沌系统动力学的相关特征，我们可以通过它对噪声的免疫性、对初始条件的敏感性以及相应轨迹变化，来检测强噪声背景下的微弱信号。目前，混沌检测是人们研究的重要科研领域，而微弱信号的检测技术又是混沌检测中的热点问题。据研究发现，在噪声背景下，混沌检测可以大大地增强了微弱信号的检测的精确性，有效地提高了信号输出的信噪比，是非常实用的一种检测方法。关于混沌状态的判别方法问题，我们改变了单一的定性分析，实现了了定性分析与定量分析的有机结合。在实践中，定性分析与定量分析都存在一些优点与缺点。例如，定性分析便捷、易于操作，但是不够精确；而定量分析能够提高分析的精确度，但操作起来比较复杂。因此，将定性分析与定量分析结合起来，可以实现优势互补，是非常必要的。
基于以上论述，本文提出了一种新的混沌检测判据，那就是一种以lebesgue测度理论应用与Wigner变换分析为基础的研究方法。
1 lebesgue测度
在欧几里得空间中，点集测度是一项非常重要的理论。在实际中，这种点集不能太繁琐，而要有一个合适的度，而这个度就称之为测度。
测度概念是区间体积概念的扩展，目的是使一般的点集能具有类似体积性质的度量。这种度量（测度m(E)）具有如下的几项性质：
1）测度m(E)>=0；
2）可合同的点集具有相同的测度；
3）对区间I=(a,b)，m(I)=b-a；
4）可数可加性：对互不相交的点集而言，它们并集的测3度等于测度的和。第4点很重要。
2 lebesgue测度在Duffing混沌系统中的应用
研究非线性阻尼振荡、分岔、混沌的常用模型之一是Duffing系统所代表的非线性动力学系统。本文选取恢复力项为在试验中发现，振子方程的值为一个常数，而且阻尼比k∈（0.2，0.5）。除此之外，随着时间t的变化，振子方程的均值函数与均方值函数都发生了相应的变化。这说明，Duffing混沌信号完全符合非平稳信号的特征，是一种非平稳信号。
在实际中，由于Wigner分布具有时频性的特点，这有利于我们加强对非平稳信号的描述。因此，本文应用Wigner分布技术，对混沌系统进行了周密的时频分析。图1就是关于Duffing混沌系统输出的Wigner分布图。通过图1不难看出，Duffing系统输出主要分布在低频窄带区间。基于这种现象，在检测信号的过程中，我们就可以去除主频率以外的噪音。实验结果证明，Duffing混沌系统不仅有对初始条件的敏感性，而且有对噪声的免疫性。
怎么判断系统是从混沌态跃变到了大周期态呢？具体做法是：选取k=0.5，采用四阶龙格－库塔法（Runge-Kutta）算法求出方程的解，是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法，通过中间步点值对高阶导数的替代，以对求解的信号做Wigner转换。在这个过程中，指标是衡量Duffing混沌系统状态转变的直观反映，本文在此采用了一些新的指标数据。
应用MATLAB/Simulink软件仿真环境，从Duffing系统中得到的Wigner变换的幅频图。在这里的选取应用黄金分割法的理论，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割法也称0.618法，通过对lebesgue测度可数可加性的应用，根据混沌检测微弱信号的仿真模型，使系统进入混沌态。为此，本了图a与图b的分析。其中，图a为混沌态下的Wigner分布图，而图b为周期态下的Wigner分布图。图2Duffing系统混沌态和周期态Wigner分布图
从图中可看出，周期态的值比在混沌时的值小。较大的值说明系统处于混沌态，较小的说明系统处于周期态。
在数学模型(1)中，随着参数的变化，系统的状态也会发生相应的变化，我们将这种变化称之为混沌系统控制参数。在Duffing系统由混沌态变为周期态的过程中，其会产生一个对应值，我们将这个值称之为临界值或阀值。在实践中，具体的操作步骤如下：首先，为了确保Duffing系统的相轨迹为混沌态，我们要相应地调整其策动力幅值；其次，通过相态图，我们要判断临界值的取值范围；最后，根据这个取值范围，我们可以设计一个循环程序，以确定具体的临界值。具体而言，我们假定初始值为0.731970，计算出循环递增后的lebesgue测度值。计算后发现，当临界值小于0.731984时，lebesgue测度值大于0.1；而当临界值大于0.731984时，lebesgue测度值小于0.1。由此我们可以断定，Duffing混沌系统由混沌态变为周期态的临界值为0.731984。
现在建立一个以为横坐标，以为纵坐标的信号变化曲线。在[0，1]的取值范围内选取相应的采样点，本文采用了等间隔取300个采样点的办法。根据这些采样点，再结合着编程技术，求出n的对应值。具体情况如图3所示。通过图3，我们能够直观地看出临界值的范围以及相应值，进而能够识别出Duffing混沌系统的混沌态与周期态。图3的lebesgue测度随的变化曲线
在相同幅值的条件下，根据n的不同取值，我们来判断lebesgue测度值的大小，并以此来分析n与lebesgue测度值的关系状况。要完成这个目标，我们要借助于编程技术，具体的操作过程如表1所示。
由表1可知，lebesgue测度随的变化曲线在n不同时，混沌态和周期态得出的值不同。首先，无论系统处于混沌态还是大尺度周期态，的lebesgue测度随n值的增大而增大。其次在相同的n值条件下，混沌时的的lebesgue测度值比在大周期状态时的的lebesgue测度值大。其次，当n为8.2时，lebesgue测度达到了最大值。这表明，信号能量在混沌状态下分布比较均匀。最后，n值越大，lebe? sgue测度越大，但是增长的幅度并不相同。在混沌状态下，wigner分布比较平整，因为混沌信号属于一类信号，在确定信号和随机信号之间。进一步讲，因为其具有一定的规律性，所以上升曲线呈现出一种不规则的状态。而在大周期状态下，这条曲线是比较光滑的，三维图除了一个陡峰外，其余部分都是平整的曲线。
3结束语
文中提出一种新的方法来判断混沌态还是周期态。通过分析lebesgue测度的概念以及描述非平稳信号重要应用的双线性变换Wigner分布。把它们综合的应用到Duffing混沌系统中，利用Duffing混沌系统检测微弱信号的仿真模型，根据有效性与大小关系判断来区分两种状态，并最终识别出混沌态到周期态的临界值。基础这一理论，本了大量的实验。实验结果证明，这种混沌检测判据具有很强的针对性、有效性与实效性，值得我们付诸实践。
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