浅谈数形结合在解题中的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇浅谈数形结合在解题中的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要：数形结合是初等数学中一种基本又十分重要的思想方法，常常能为解决有关初等数学问题提供一条捷径。而数与形的相互转换，相互渗透，使得某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维。数缺少形时少了直观，形缺少数时难入微。本文简要介绍了数形结合的概念以及在初等数学中的作用与地位，又从函数、集合、几何等几个方面通过具体问题来讨论了巧妙利用数形结合思想解决初等数学问题。

关键词：数形结合思想方法、解题

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

以“形”变“数”虽然具有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”，而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。接下来从几个方面简单说说数形结合在解题中的应用。

一、集合问题中的数形结合

在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

例1：已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A∩B。

分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚的知道结果。如图1，由图我们不难得出A∩B=[0，3]。

二、函数中的数形结合

函数是贯穿高中数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。函数的图像是表示函数关系的方式之一，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。利用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的图像来解决代数问题，有利于培养学生的转化联想能力、观察能力，如利用某些函数表达式所具有的特征，与几何中的距离、直线的斜率、线段的长度（两点间的距离）等联系在一起，构造几何模型解决问题，培养学生思维的深刻性并提高创造性。

例2：若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，求f（x）

应用数形结合解题时要注意以下两点：其一数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题必须是等价的；其二，利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合，巧妙应用数形结合的思想方法，不仅能直观地发现解题的途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题的过程。“数无形时不直观，形无数时难入微”。华罗庚先生恰当地指出了“数”与“形”的相互依赖、相互制约的辩证关系，是对数形结合方法最通俗的、最深刻的剖析。

参考文献：

[1] 刘兴楠.数形结合思想在中学数学教学中的应用[D].辽宁师范大学，2011.

[2] 李宏波.浅谈“数形结合”[J].新课程学习（中），2011，05：135.