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基于V—系统的时间序列跳跃点检测新算法

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摘要: 一些时间序列中跳跃点往往包含比较重要的信息,对其进行检测和定位对实证分析有着非常重要的意义。本文基于一种完备正交函数系、多小波-V系统,构造了离散正交V变换,提出检测跳跃点的一种新算法DOVT-JDA(Discrete Orthogonal V Translation-Jump Point Detection Algorithm),并针对存在市场微观结构噪音和跳跃的时间序列做了数值模拟。模拟结果表明本文提出的检测跳的新算法DOVT-JDA不仅行之有效,而且计算简单。

Abstract: Frequently, the jump point of time series contains very important messages. So, the detection and location of jump is of great significance for the demonstration analysis. Here, we propose a new jump point detection algorithm based on V-system and its discrete orthogonal translation named DOVT-JDA (Discrete Orthogonal V Translation-Jump Point Detection Algorithm). Then, we carry out numerical simulations for the time series encompasses market microstructure noise and jump. The experiments have shown the viability and effectiveness of the new jump detection algorithm.

关键词: 跳跃检测;V系统;离散正交V变换

Key words: jump detection;V-system;discrete orthogonal V-translation

中图分类号:TP312 文献标识码:A 文章编号:1006-4311(2013)28-0219-03

0 引言

时间序列中在某些较短的时期内发生大规模大幅度的变化,这种现象称为跳跃。比如,在金融时间序列中虽然跳跃行为发生的概率一般很小,然而一旦发生,就会对金融市场带来巨大的冲击,这种冲击比连续性波动率的影响要大得多。鉴于此,对金融市场跳跃性的研究分析,对于完善金融市场监管机制、合理构建投资组合和实行风险管理都具有重大的理论和现实意义。并且时间序列跳跃性研究对其他领域也有重大的理论意义。

Barndorff-Nielsen和Shephard[1]从非参模型角度来检测跳跃的存在,提出二次变差理论,从股价数据中提取剥离跳跃过程,通过检验跳二次变差是否显著不为0检验是否存在跳。王建稳[10]利用聚类思想找到资产价格中的跳跃成分并将其从数据中分离出来。秦磊[9]利用异常值剔除的方法对收益率跳跃点进行分离。跳跃点检测的小波方法运用也很成熟了,最早是Wang[5]应用小波方法解决了包含噪声的函数跳跃点检测问题,并对1953年到1991年美国股市收益率的月度数据跳跃点进行了检测。Ogden和Parzen[3]利用小波系数的累积和对跳跃点进行了检测。黄香,叶维彰,栾贻会和谢衷洁[6]应用小波方法对1989年至1991年美元对马克汇率的跳跃点进行检测,检测出的跳跃点都具有强烈的社会和经济背景。这些小波方法基于滤波器的思想,但是用小波构造离散正交变换进行跳跃点检测是一个新的想法。本文基于一类完备的正交函数系、多小波-V系统[2][4][8]构造了离散正交V变换,提出一种时间序列跳跃点检测新算法,并做了数值模拟。

本文第一部分介绍了V系统及离散正交V变换,第二部分做了数值模拟,最后总结全文。

1 V系统及V变换检测跳跃点算法

1.1 V系统 k次V系统是由一系列k次分段多项式组成的,第1组是区间[0,1]上的前k+1个Legendre多项式,第2组V■■(x),i=1,2,…,k+1是k+1个k次函数生成元,从第3组开始,(每组分成k+1类,每类含2n-2个函数)依次对这k+1个函数生成元作各种尺度的压缩平移并规范化,即V■■(x)=■V■■2■(x-■),x∈(■,■) 0, 其它

其中i=1,2,…,k+1;j=1,2,…,2n-2;n=3,4,5,…。

定义1:[0,1]上的函数系:

第1组V■■(x),V■■(x),…,V■■(x);

第2组V■■(x),V■■(x),…,V■■(x);

第3组V■■(x),V■■(x)—第1类V■■(x),V■■(x)—第2类 ┆V■■(x),V■■(x)—第k+1类;…

第n组V■■(x),V■■(x),…,V■■(x)—第1类V■■(x),V■■(x),…,V■■(x)—第2类 ┆V■■(x),V■■(x),…,V■■(x)—第k+1类

称为k次V系统,详见文献[2][4]。(图1)

1.2 V变换 定义2:k次离散V变换矩阵 取k次V系统前n组基函数,按自然序排列为v1,v2,…,vN,N=(k+1)·2n-1。取[0,1]的N-1等分点t1,t2,…,tN-1,令t0=0,对任意的i(i=1,2,…,N),基函数vi(t)的N点离散采样定义为:vi=[vi(t0),vi(t1),…,vi(tN-1)]T,令VN=[v1,v2,…,vN]N×N,然后对VN做Schmidt正交化,仍记为VN,我们定义VN为k次离散正交V变换矩阵。

注意:V系统是一类完备的正交函数系,而且是分组收敛的,即用V系统对信号逼近时,是随着基函数一组一组地增加而逐渐逼近原信号,而不是随着基函数逐个增加而逼近原信号,故我们定义VN时取的是前n组基函数;另外由于对基函数做了N点离散采样,故得到的VN不是严格的正交矩阵,故我们又做了一步Schmidt正交化。

定义3:离散正交V变换及其逆变换 对任一序列d=[d1,d2,…,dN],我们定义其离散V变换如下:s1×N=d1×NVN,由于上述变换是正交变换,故其逆变换特别简单:d′=s1×NV■■。

我们称s1×N为序列d的V变换的谱,d′为重构序列。

1.3 V变换跳跃点检测算法 假设原始时间序列为Y=[y1,y2,…,yL],序列长度为L,取k次离散V矩阵VN,我们提出基于离散正交V变换的跳跃点检测新算法DOVT-JDA如下:

1.3.1 对原始序列做离散正交V变换 若LN,则将Y分段,形如Y=[Y1,Y2,…],其中Y1,Y2,…的长度均为N且可重叠,然后分别计算,s■■=Y■V■,S■■=Y■V■,…,得s=S■■,S■■,…。

1.3.2 令对应于第J(J=1,2,…,n)组基函数的谱不为零,其它全为零,形如sJ=[0,…,0,s■■,s■■,…,s■■,0,…,0]■,其中s■■表示第J组第i个谱。计算其逆变换dJ=sJV■■,我们取dJ的绝对值d■。

1.3.3 我们用d■,d■,…,d■检测跳跃点,小波细节系数图在跳跃点(jump)和尖点(cusp)处具有显著峰值[5][7],故我们取1.3.2中{sm,sm+1,…,sn},即高频组系数逆变换得到的{d■,d■,…,d■}(0

2 数值模拟

在实际的金融市场中,交易信息的内容存在或多或少的不准确性,标的资产价格的变动并不均衡,存在价格离散和买卖价差等大量实际市场微观结构噪音的影响。故我们假设标的资产价格采样数据yt可以分解为均衡价格xt与市场微观结构噪音εt之和,即yt=xt+εt。我们选取如下的回归模型做模拟实验:y■=f(■)+ε■。其中i=0,1,2,…n,ε■~N(0,σ2)为i.i.d.(independent identically distributed独立同分布)的AR(1)噪声ε■=?准ε■+σe■。这里│?准│

N(0,1)为i.i.d.的白噪声。回归函数:

f■(x)=3.5sin(4πx)-12x-0.4■-0.85,0?燮x

f■(x)=e■-1, 0?燮x

我们的模拟样本长度n=1024,σ=0.1,?准从-1.0逐步增加到1.0,每步的步长为0.1。通过大量模拟实验,我们发现当d■?叟0.75■{d■}时此点为跳跃点,也就是说V变换高频组系数能很准确地检测出函数的跳跃点。

图2是1次V系统中,在噪声ε■=0.2ε■+0.1e■干扰下的回归函数f1(x)的V变换检测跳跃点的示意图,可以看到d■?叟0.75■{d■}只有两个点为0.4和0.7,这两个点正是原回归模型中的跳跃点。

图3是1次V系统中,在噪声ε■=0.2ε■+0.1e■干扰下的回归函数f2(x)的V变换检测跳跃点的示意图,可以看到d■?叟0.75■{d■}只有两个点为0.35和0.65,这两个点正是原回归模型中的跳跃点。

3 结论

本文基于完备的正交函数系、多小波-V系统构造了离散正交V变换,利用V变换中的高频组系数来检测并定位跳跃点。本文算法能很准确地检测出时间序列中的跳跃点并将其准确定位。然而,实验显示本文算法对波动率比较大的时间序列跳跃点的检测效果不是很好,原因可能是噪音影响太大而淹没了跳跃,所以继续改进我们的算法,增强其鲁棒性是值得我们继续研究的一个课题。我们也相信V系统的完备正交性及多小波特性等的优良特性,将会使其在经济领域有愈加良好的表现。

参考文献:

[1]Barndorff-Nielsen O.E. and Shephard N. Power and bipower variation with stochastic volatility and jumps [J]. Journal of Financial Econometrics,2004,2(1):1-37.

[2]Huang Chao, Yang Lihua and Qi Dongxu. A new class of multi-wavelet bases: V-system [J]. Acta Mathematica Sinica-English Series,2012,28(1):105-120.

[3]Ogden T. and Parzen E. Change-point approach to data analytic wavelet thresholding[J]. Statistics and Computing,1996,6:93-99.

[4]Song Ruixia, Ma Hui, Wang Tianjun, et al. The complete orthogonal V-system and its applications[J]. Communications on Pure and Applied Analysis,2007,6(3):853-871.

[5]Wang,Y. Jump and sharp cusp detection by wavelets [J].Biometrika,1995,82(2):385-397.

[6]黄香,叶维彰,栾贻会,谢衷洁.跳跃点统计检测的小波方法及其在金融汇率中的应用[J].北京大学学报(自然科学版),1997,3(33):380-385.

[7]李元.时间序列中变点的小波分析及非线性小波估计[N].北京:中国统计出版社,2002.

[8]齐东旭,宋瑞霞,李坚.非连续正交函数[M].北京:科学出版社,2011.

[9]秦磊.股市跳跃点对股票价量变化的影响分析[J].商业时代,2011(7):60-61.

[10]王建稳,肖春来.非对称Possion跳-扩散模型的参数估计[J].数理统计与管理,2005,4(25):76-79.